Analyse - Cours Première S

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Equations du second degré


Qu'est -ce qu'une équation du second degré ?

Il s'agit d'un équation qui comporte des constantes, des termes en "x" et des termes en "x2". Elle peut toujours, en développant puis en réduisant, se ramener à une équation de la forme:

ax2 + bx + c = 0

On identifie un polynôme du second degré qui peut s'écrire sous sa forme canonique ce permet d'écrire cette équation sous les formes suivantes:

a.(x +  )2 -   b2 - 4ac = 0     
         2a               4a    
ou

a.(x +  b  )2  -     Δ   = 0   
          2a          4a
ou


f(x) =  a(x -xs)2 - ys

Les solutions d'une équation du second degré

a.(x +  b  )2  -     Δ   = 0   
          2a           4a
a.(x +  b  )2  =     Δ     
          2a            4a
(x +  b  )2  =     Δ     
       2a            4a2  

On distingue trois situations:

- si Δ<0 alors l'équation n'admet aucune solution puisque le terme de gauche est carré qui ne peut par conséquent pas être négatif

- si Δ=0 alors
(x +  b  )2  = 0   
       2a  
(x +  b  )  = 0   
       2a  
x = -   b     
         2a  
L'équation admet une seule et unique solution:
x =
 b
      2a
- si Δ>0 alors
(x +  b  )2  =     Δ     
       2a            4a2  
x +  b    =  racine carré de delta  ou   x +  b   = -  racine carré de delta
      2a        2a                 2a         2a

L'équation admet donc deux solutions:

x1 = - b + racine carré de delta    ou x2 = -b - racine carré de delta
            2a                        2a

Racines de l'équation et factorisation

Les solutions d'une équation du second degré sont aussi appelées "racines", elles peuvent être utilisées pour factoriser le polynôme qui intervient dans cette équation. 

si Δ<0  puis qu'il n'y a pas de solution, le polynôme n'est pas factorisable.

- si Δ=0 il y une seule solution
( x1 = -b   ):  ax2 + bx + c = a(x - x1 )2
         2a
- si Δ>0 il y a deux solutions (x1 et x2 ):  ax2 + bx + c = a( x - x1 ).( x - x2 )

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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