Analyse - Cours Première S

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Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

Trinôme et forme canonique

Une fonction polynome de second de degré "f" correpond à une somme de termes qui sont des constantes réelles, des multiples de la variable "x" (terme de degré 1) et des multiples de  la variable "x2" (terme de degré 2).

Cette fonction peut s'écrire sous la forme f(x) = ax2 + bx + c
   
où:
- "a", "b" et "c" sont des réels (positifs ou négatif)
- "a" ne peut être nul sinon on obtient une fonction de la forme f(x) = bx + c qui corrrepond à un polynôme de degré 1 aussi appelé fonction affine

Toute fonction polynôme f(x) = ax2 + bx + c  peut s'écrire sous une forme dite canonique qui prend la forme:

f(x) = a.(x - α)2 + β


On peut montrer que

α = - b  
        2a
β = b2 - 4ac
          4a

La forme canonique s'écrit donc également

f(x) = a.(x +  )2 -   b2 - 4ac
                       2a               4a    


On peut vérifier, qu'en développant cette expression, on obtient à nouveau la forme trinôme

Le discriminant

Le discrimant est un terme noté Δ (lettre grecque Delta) défini par l'expression:

Δ = b2 - 4c


En utilisant ce discriminant, la forme canonique d'une fonction polynôme de second degré s'écrit:

f(x) = a.(x +  b  )2  -     Δ 
                   2a          4a


Forme canonique et caractéristiques de la parabole

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré de formule f(x) = ax2 + bx + c  est une parabole:
- dont le sommet a comme coordonnées
( -b ;  - Δ )
  2a    4a
- qui admet un axe de symétrie verticla d'équation
x = -b  
      2a
- qui est orientée vers le haut si "a" est positif
- qui  est orientées vers le bas si "a" est négatif

La forme canonique peut donc s'écrire:

f(x) =  a(x -xs)2 - ys


où ys est l'ordonnée du sommet de la parabole
     xs est l'abscisse du sommet de la parabole

Parabole représentative d'un polynôme du second degré


Comment trouver la forme canonique ?

Il est possible de trouver la forme canonique à partir du trinôme en suivant 3 méthode différentes

Méthode n°1

on utilise directement l'expression vue précédement :

f(x) = a.(x +  )2 -   b2 - 4ac
                   2a               4a    


Méthode n°2

Puisque la forme canonique peut s'écrire f(x) = a(x -xs)2 - ys on peut chercher les coordonnées du sommet de la parabole (xs; ys)            

Pour cela on cherche à résoudre l'équation suivante:
ax2 + bx + c = c
ax2 + bx = 0
x(ax +b) = 0
cette solution admet deux solutions:
x = 0 et x = -b  
                   a
Les points de la parabole ayant ces abscisses sont symétriques l'un de l'autre, l'axe de symétrie se trouve au milieu de ces deux points, il a donc comme abscisse:
xs = 1 . (0 +  -b )  soit xs = -b
         2            a                  2a
Cette abscisse est aussi celle du sommet de la parabole dont l'ordonnée est ys =f(xs). La valeur ainsi obtenue correspond à
ys =  - Δ
         2a
Méthode n°3

On cherche à factoriser la forme trinôme afin de faire apparaître la forme canonique

y = ax2 + bx + c
y = a( x2 + bx) + c
                 a
y = a( x2 + bx +   b2  -   b2 ) + c
                 a       4a2    4a2
y = a( x2 + bx +   b2  ) -    b2  + c
                 a       4a2        4a2
y = a( x +  b )2 -   b2  + c
                2a       4a
y = a( x +  b )2 -   b2  - 4ac
                2a             4a
On retrouve bien la forme canonique

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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