Analyse - Cours Première S

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Signe d'un trinôme


L'étude du signe d'un trinôme est plus simple lorsque celui-ci se présente sous sa forme factorisée, on distingue alors trois situations en fonction du signe et de la valeur du discriminant.

Si le discriminant est négatif (Δ<0)

f(x) = a.(x +  b  )2  -     Δ 
                   2a            4a
f(x) = a [ (x +  b  )2  -     Δ  ]    
                     2a            4a2
le terme (x +   )2 est positif (comme tous les carrés)
                      2a
le terme  -   Δ  est également positif
                   4a2
La somme des deux termes est donc postives et le signe de du trinôme est celui de "a"

Conclusion: si a<0 alors le trinôme est négatif et si a>0 alors le trinôme est positif sur l'ensemble des réels

Si le discriminant est nul (Δ=0)

La forme factorisée du trinôme est:
f(x) = a(x - x1 )2  où x1 est la racine du trinôme
( x1 = -b   )
          2a
Puisque le terme (x - x1 )2 est positif le trinôme et du signe de "a" est s'annule pour la racine

Conclusion: si a<0 alors le trinôme est négatif et si a>0 alors le trinôme est positif sur l'ensemble des réels


Si le discriminant est positif (Δ>0)

La forme factorisée du trinôme est:

f(x) = a( x - x1 ).( x - x2 ) où x1 est la première racine (la plus petite) et x2 la seconde racine (la plus grande)

Le terme ( x - x1 ) est négatif sur l'intervalle ] Moins l'infini ; x1 ] puis négatif sur l'intervalle [ x1 ; Plus l'infini [

e terme ( x - x2 ) est négatif sur l'intervalle ] Moins l'infini ; x2 ] puis négatif sur l'intervalle [ x2 ; Plus l'infini [

Le produit ( x - x1 ).( x - x2 ) est donc positif sur ] Moins l'infini ; x1 ], négatif sur [ x1 ; x2 ] puis positif sur [ x2 ; Plus l'infini [

Conclusion:

Le trinôme est du signe de "a" (ou nul) sur ] Moins l'infini ; x1 ]

Le trinôme est du signe opposé à celui de "a" (ou nul) sur [ x1 ; x2 ]

Le trinôme est du signe de "a" (ou nul) sur [ x2 ; Plus l'infini [

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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