Analyse - Cours Première S

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Analyse - Cours Première S

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La fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction "f" qui à tout nombre de son ensemble de définition associe la racine carrée de ce nombre:

f(x) = racine carrée de x


Ensemble de définition

La racine d'un nombre n'est défine que pour les nombres positifs, l'ensemble de définition de la fonction racine carrée est donc l'ensemble des nombres réels positifs qui correspond à l'intervalle [ 0 ; plus l'infini [

Variations

Soit "a" et "b" deux nombres de l'ensemble de définition de la fonction racine carrée tels que a < b

f(b) - f(a) =  racine carrée de b - racine carrée de a
                =   racine carrée de b - racine carrée de a x (racine carrée de b + racine carrée de a)
                                       racine carrée de b + racine carrée de a
                =  racine carrée de b2 - racine carrée de a2
                    racine carrée de b + racine carrée de a
                =   b - a  
                    racine carrée de b + racine carrée de a

Etant donné que b>a le numérateur (b-a) est toujours positif, tout comme le dénominateur qui est une somme de racines carrées donc f(b) - f(a) > 0 ce qui montre que la fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition.

Tableau de variations
tableau de variations de fonction racine carrée

 

Courbe de la fonction racine carrée

 

courbe de la fonction racine carrée


Comparaison des fonctions f(x) = racine carrée de x et  g(x) = x  sur l'ensemble des réels positifs

f(x) - g(x) = racine carrée de x - x
                = racine carrée de x.(1 - racine carrée de x)
racine carrée de x > 0
(1 - racine carrée de xsupérieur ou égal 0 sur [0 ; 1]  
(1 - racine carrée de xinférieur ou égal 0 sur [1 ;plus l'infini]  

On en déduit donc que f(x) - g(x) est positif sur l'intervalle [0 ; 1]  et négatif sur l'intervalle [1 ;plus l'infini]
Par conséquent:

Sur [0 ; 1]  f(x) supérieur ou égal g(x) et racine carrée de x supérieur ou égal x
Sur [1 ;plus l'infini]  f(x) inférieur ou égal g(x) et racine carrée de x inférieur ou égal x

Comparaison des fonctions g(x) = x et h(x) = x2 sur l'ensemble des réels positifs
g(x) - h(x) = x - x2
                 = x.(1 - x)
x supérieur ou égal
(1-x) supérieur ou égal 0 sur [0 ; 1]  
(1-x) inférieur ou égal 0 sur [1 ;plus l'infini]

On en déduit donc que g(x) - h(x) est positif sur l'intervalle [0 ; 1]  et négatif sur l'intervalle [1 ;plus l'infini]
Par conséquent:

Sur [0 ; 1]  g(x) supérieur ou égal h(x) et x supérieur ou égal x2
Sur [1 ;plus l'infini]  g(x) inférieur ou égal h(x) et x inférieur ou égal x2
 
Comparaison de racine carrée de x, x et x2

On déduit des comparaisons précédentes que

Sur [0 ; 1]  racine carrée de x supérieur ou égal x supérieur ou égal x2  et  Sur [1 ;plus l'infini]  racine carrée de x inférieur ou égal x inférieur ou égal x2   

 

Position relative de la courbe de la fonction racine carrée et des courbes des fonctions g(x) = x et h(x) = x2
Comparaison de la courbe racine carrée
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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