Analyse - Cours Première S

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Fonction valeur absolue

Définition et ensemble de définition

La fonction valeur absolue est définie sur l'ensemble des nombres réels:

Sur l'intervalle  ] moins l'infini ; 0 ] est définie par la relation f(x) = -x

Sur l'intervalle  [ 0 ;plus l'infini [) est définie par la relation f(x) = x

La valeur d'un nombre réel correspond donc à ce même nombre s'il est positif et à son opposé s'il est négatif. En résumé cette fonction débarasse tout nombre de son signe négatif: toute image obtenue par cette fonction est donc un nombre positif.

Notation

On utilise une notation particulière pour l'image d'un nombre "x" par la fonction valeur absolue:

La valeur absolue d'un nombre réel "x" est notée |x| (x entre deux barres)

D'après la définition de la fonction valeur absolue:

|x| = x si x est positif et |x| = -x si x est négatif

Variations

Sur l'intervalle des nombres réels négatifs la fonction valeur absolue est définie par f(x) = -x, elle est donc assimilable à une fonction affine de forme ax + b pour laquelle a = -1 et b=0. Puisque son coefficient directeur est négatif cela implique qu'elle est décroissante sur cet intervalle.

Sur l'intervalle des nombres réels positifs la fonction valeur absolue est définie par f(x) = x, elle est donc assimilable à une fonction affine de forme ax + b pour laquelle a = 1 et b=0. Puisque son coefficient directeur est positif cela implique qu'elle est croissante sur cet intervalle.

On en déduit son tableau de variation

 

Tableau de variations de la fonction valeur absolue


Représentation graphique

la fonction valeur absolue est paire puisque |-x| = |x| donc le graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Courbe représentative de la fonction valeur absolue


Valeur absolue et expression d'une distance

Si l'on considère un point M d'abscisse "x" sur un axe gradué d'origine O alors |x| (la valeur absolue de x) correspond à la distance entre le point O et le point M.

Plus généralement, si l'on considère deux point M et N d'un axe gradué d'abscisses repectives x et x' alors |x - x'| correspond à la distance qui sépare les points M et N.

Une distance est un nombre toujours positif, l'utilisation d'une valeur absolue pour l'exprimer est donc particulièrement adaptée puis que celle-ci fournit une valeur positive sans considération d'ordre (sans nécessité de faire la soustraction dans un sens particulier)

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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