Analyse - Cours Première S

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Fonctions dérivées


Fonction dérivable

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle dérivable en chaque point de cet intervalle.

Lorsqu'une fonction est dérivable sur un intervalle I on peut y définir une fonction dérivée notée f' qui à tout nombre de cet intervalle associe le nombre derivée par la fonction f

Fonction dérivée de la fonction constante

Cette fonction est définie sur l'ensemble des réels par f(x) = b où b est un réel

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  f(x +h) - f(x)
                         h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  b-b
                    h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  0
                  h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  0

La dérivée de la fonction constante est donc nulle sur l'ensemble des réels:

si f(x) = b alors f'(x) = 0


Fonction dérivée d'une fonction affine

Cette fonction est définie sur l'ensemble des réels par f(x) = ax + b où a et b sont des réels

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  a(x +h) +b - (a.x+b)
                         h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  a.x+ a.h +b -a.x - b
                         h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro   a.h 
                     h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro   a

La dérivée d'une fonction affine est donc constante et égale au coefficient directeur sur l'ensemble des réels:

si f(x) ) ax + b alors f'(x) = a


Fonction dérivée d'une fonction carré

Cette fonction est définie sur l'ensemble des réels par f(x) = x2

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  f(x +h) - f(x)
                         h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  (x +h)2 - .x2
                         h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  x2+ 2x.h + h2 - x2
                         h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro   2x.h + h2
                         h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro   2x + h

f'(x) =2x

La dérivée d'une fonction carré correspond donc à une fonction linéaire d'équation y=2x sur l'ensemble des réels:

si f(x) = x2 alors f'(x) = 2x


Fonction dérivée d'une fonction puissance

Cette fonction est définie sur l'ensemble des réels par f(x) = xn où est un entier.

On admet que la fonction dérivée est définie sur l'ensemble des réels par f'(x) = n.xn-1

Fonction dérivée de la fonction inverse

Cette fonction est définie sur l'intervalle ]Moins l'infini ; 0[ U ]0 ; Plus l'infini[   par f(x) =  1  
                                                                                                                 x 

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  f(x +h) - f(x)
                         h
                     1    1              
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  (x +h)    x  
                         h
                     x       -      (x+h)               
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  (x +h).x     x(x+h)
                            h
                     x  -  (x+h)               
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro      (x +h).x   
                           h
                        -  h                  
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro      (x +h).x   
                           h
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro       - h        
                     h.x(x+h)
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro       - 1        
                     x(x+h)
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro       - 1        
                     x(x+0)
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro       - 1        
                         x2
La dérivée d'une fonction inverse correspond donc à l'opposée du carrée de cette fonction, elle est également définie sur l'intervalle ]Moins l'infini ; 0[ U ]0 ; Plus l'infini[

si f(x) =  1  alors f'(x) =  -1  
            x                       x2

Fonction dérivée de la fonction racine carrée

Cette fonction est définie sur l'ensemble des réels par f(x) = racine carrée de x 

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  f(x +h) - f(x)
                         h

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  racine carrée de x + hracine carrée de x
                       h

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  (racine carrée de x + hracine carrée de x)( racine carrée de x + h + racine carrée de x)  
                       h.( racine carrée de x + h + racine carrée de x)

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro   x + h  - x    
                  h.( racine carrée de x + h + racine carrée de x)

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro           h          
                  h.( racine carrée de x + h + racine carrée de x)

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro           1          
                   ( racine carrée de x + h + racine carrée de x)
    
f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro           1          
                   ( racine carrée de x + 0 + racine carrée de x)

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro           1          
                   (  racine carrée de x + racine carrée de x)

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro        1          
                     2.racine carrée de x

La dérivée de la fonction racine carrée est donc égale à l'inverse du double de cette fonction, n'est pas définie sur l'ensemble des reéls mais sur l'intervalle ]Moins l'infini ; 0[ U ]0 ; Plus l'infini[.

Si f(x) = racine carrée de x alors f'(x)=   1  
                                     2racine carrée de x


Dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions de référence

Si une fonction "f" est est définie comme le produit d'un réel "k" par une fonction de référence "u" alors la dérivée de cette fonction est le produit du réel "k" par la dérivée de la fonction "u"et leurs ensembles de définition sont les mêmes:

si f(x) =k.u(x) alors f'(x) = k.u'(x)


Si une fonction "f" est définie comme le produit de deux fonctions de référence "u" et "v" alors la dérivé de "f" est la somme des dérivées de "u" et "v". L'ensemble de définition de f' correspond à l'intersection  des ensembles de définition de "u'" et "v'":

Si f(x) = u(x) + v(x) alors f'(x) = u'(x) + v'(x)


D'une manière générale, si une fonction "f" s'écrit sous la forme d'une combinaison linéaire de fonction "u" et "v" alors la dérivée de "f" s'écrit aussi sous forme d'une combinaison linéaire des dérivées de "u" et "v" et l'ensemble de définition de f' correspond à l'intersection des ensembles de définition de u' et v'.

Si f(x) = k.u(x) + h.v(x) (avec k et h réels) alors f'(x) = k.u'(x) + h.v'(x)
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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