Analyse - Cours Première S

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Analyse - Cours Première S

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Signe d'une dérivée et sens de variation


Signe de la dérivée d'une fonction croissante

Soit "f", une fonction dérivable sur un intervalle I et croissante sur cet intervalle

Par définition, pour tout nombre a et b de cet intervalle tel que a inférieur ou égal b on a f(a) inférieur ou égal f(b)

On en déduit donc que si "a" et "a+h" appartiennent à l'intervalle I et que h est positif alors a inférieur ou égal a+h et:

f(a) inférieur ou égal  f(a+h)
 
f(a+h) - f(a) supérieur ou égal 0

f(a +h ) - f(a)  supérieur ou égal 0
         h
Limite lorsque h tend vers zéro  f(a +h) - f(a)  supérieur ou égal 0
             h
f'(a)  supérieur ou égal 0

Si une fonction est croissante et dérivable sur un intervalle alors sa dérivée est postive sur cet intervalle


Signe de la dérivée d'une fonction décroissante

Soit "f", une fonction dérivable sur un intervalle I et décroissante sur cet intervalle

Par définition, pour tout nombre a et b de cet intervalle tel que a inférieur ou égal b on a f(a) supérieur ou égal f(b)

On en déduit donc que si "a" et "a+h" appartiennent à l'intervalle I et que h est positif alors a inférieur ou égal a+h et:

f(a) supérieur ou égal  f(a+h)
 
f(a+h) - f(a) inférieur ou égal 0

f(a +h ) - f(a)  inférieur ou égal 0
         h
Limite lorsque h tend vers zéro  f(a +h) - f(a)  inférieur ou égal 0
             h
f'(a) inférieur ou égal 0

Si une fonction est décroissante et dérivable sur un intervalle alors sa dérivée est négative sur cet intervalle.

Signe de la dérivée d'une fonction constante

Soit "f", une fonction dérivable sur un intervalle I et constante sur cet intervalle

Par définition, pour tout nombre a et b de cet intervalle tel que a inférieur ou égal b on a f(a) = f(b)

On en déduit donc que si "a" et "a+h" appartiennent à l'intervalle I et que h est positif alors a inférieur ou égal a+h et:

f(a) =  f(a+h)
 
f(a+h) - f(a) = 0

f(a +h ) - f(a)  = 0
         h
Limite lorsque h tend vers zéro  f(a +h) - f(a) = 0
             h
f'(a) = 0

Si une fonction est constante et dérivable sur un intervalle alors sa dérivée est nulle sur cet intervalle.


Remarque: la dérivée d'une fonction "f" en un point correspond au coefficient directeur de la tangente en ce point or celle-ci se confond localement avec la courbe de "f", les résultats obtenus sont donc conformes avec le fait qu'un coefficient directeur positif corresponde à une droite croissante, une coefficient négatif à une droite décroissante et  un coefficient nul à une droite horizontale.

Signe de la dérivée et variations d'une fonction

On admet que le réciproque des résultats précédents est vérifiée. Si une fonction "f" est dériable sur un intervalle I alors:

Si sa dérivée est positive sur cet intervalle alors la fonction y est croissante.

Si sa dérivée est négative sur cet intervalle alors la focnction y est décroissante.

Si sa dérivée est nulle sur cet intervalle alors la fonction y est constante.

L'étude du signe de la dérivée d'une fonction permet donc d'établir les variations de cette dernière, elle est en particulier utile lorsque l'on n'a pas affaire à des fonction de références.

Exemple d'étude des variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée

Soit "f" la fonction définie sur l'ensemble des réels par f(x) = 2x3 - 6x2 +8

Sa repésentation graphique
Représentation graphique de la courbe dont on étudie les variations



Sa fonction dérivée est:
f'(x) = 3.2x2 - 2.6x + 0 
f'(x) = 6x2 - 12x
f'(x) = 6x.(x - 2)

Pour trouver le signe de f'(x) on peut établir un tableau:

tableau de signe de la fonction dérivée

 
On déduit que:
- "f" est croissante sur ]Moins l'infini ; 0] puisque sa dérivée est positive sur cet intervalle.
- "f" est décroissante sur [0 ; 2] puisque sa dérivée est négative sur cet intervalle.
- "f" est croissante sur [2 ; Plus l'infini[ puisque sa dérivée est positive sur cet intervalle.

On peut donc compléter le tableau précédent

Tableau de variation de la courbe
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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