Analyse - Cours Première S

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Modes de génération d'une suite numérique


Définition d'une suite numérique

Une suite numérique "u" est une fonction définie sur la totalité où une partie des entiers naturels (les entiers positifs: 0, 1, 2, 3n 4 etc).

Cette fonction associe à tout entier "n" un nombre (appelé terme) de rang "n" noté un :
Le terme de rang "0" est noté u0
Le terme de rang "1" est noté u1
Le terme de rang "2" est noté u2
....
Le terme de rang "n-1" (situé un rang avant le terme n) est noté un-1
Le terme de rang "n" est noté un  
Le terme de rang "n+1" (situé un rang après le terme n) est noté un+1
Le terme de rang "n+2" (situé deux rangs après le terme n) est noté un+2
etc

"un" est appelé terme générique de la suite "u", "u0" est appelé terme initial de la suite "u".

Remarques:

- Le terme de rang "n" n'est pas le nième terme de la suite puisque celle-ci commence avec le terme u0: il s"agit du terme numéro "n+1".

- Il est possible de définir une suite non pas à partir du terme de rang "0" mais à partir du rang "p" (p entier naturel supérieur ou égal 1), dans ce cas up devient le terme inial.

- Deux suites sont égale si elles sont défines par la même formule, à partir du même rang?


Générer une suite à partir d'une formule directe

Il est possible de générer une suite (de la définir) à partir d'une formule qui permet d'exprimer la valeur de chaque terme de rang "n" en fonction de la valeur de "n". Cette formule est celle d'une fonction "f" dont l'ensemble de définition englobe les réels positifs où sur une partie de ces dernier  sur un intervalle de type [a ; Plus l'infini[  avec a supérieur ou égal 0.

Chaque terme de rang "n" de la suite est donc exprimé par une relation de type un = f(n) et ce mode définition perme de calculer n'importe quel terme à partir de son rang.

Exemple:
un = f(n) avec f(x) = x2, on a alors un = n2

u0 = 02 = 0
u1 = 12 = 1
u2 = 22 = 4
u3 = 32 = 9
etc

Générer une suite par une relation de récurrence

Une suite est définie par une relation de récurrence si chaque terme est exprimé en fonction du terme précédent, on a alors:

 Un+1 = f(un).


La définition d'une suite par récurrence nécessite également de connaîttre la valeur du terme initiale. Ce terme initial "up" permet grâce à la reltation de récurrence de calculer Up+1, Up+1 permet de calculer Up+2 etc.

Remarques:

- La récurrence ne permet de connaître le terme de rang "n" que si l'on a déjà calculer la valeur de tous les termes de rang inférieur.

- Deux suites ne sont identiques que si elles sont définie par la même relation de récurence et si elles ont des termes initiaux égaux (de même rang et de même valeur).

- Existe de aussi des récurences multiple ou chaque terme est exprimé en fonction de termes de différents rangs inférieurs.

Exemple:

La suite "u" est définie à partir du rang "0" par:
- la relation Un+1 = 2Un + 3
- le terme initial U0 = 0

U1 = 2U0 + 3
U1 = 2.0+ 3
U1 = 3

U2 = 2U1 + 3
U2 = 2.3 + 3
U2 = 9

U3 = 2U2 + 3
U3 = 2.9 + 3
U3 = 21

U4 = 2U3 + 3
U4 = 2.21 + 3
U4 = 45

etc

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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