Analyse - Cours Première S

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Analyse - Cours Première S

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Notion de limite


Lorsqu'on étudie une suite on s'intéresse parfois à ses variations lorsque le rang devient extremement grand (on dit qu'il tend vers l'inifini), il est alors possible de distinguer plusieurs sortes de comportements.

Les suites convergentes

Une suite est dite convergente si elle tend à se rapprocher de plus en plus vers un nombre "a" qui constitue alors sa limite.

Pour montrer qu'une suite est convergente et admet un nombre "a" comme limite , il faut démontrer que:
Aussi petit que soit le nombre b, il existe un rang "p" tel que pour tout n supérieur ou égal p on a |Un-a|inféreur ou égal
La plupart des suites convergentes sont celles qui comprennent un terme en  1  qui tend vers 0 lorsque n tends  
                                                                                                                            n
vers l'infini.

Exemples:
- si un = 1   alors elle converge vers 0
              n
- si un = 2   +  3 alors elle converge vers 3
              n

Remarque: il est également possible (mais ce n'est pas au programme de première S) de prouver la convergence d'une suite et de trouver sa limite en la comparant à des suites de références, ou en montrant par exemple qu'une suite est monotone et bornée.

Les suites divergentes

Une suite est dite dite divergente si elle n'est pas convergente, c'est dire si elle ne tend pas à se rapprocher d'une valeur particulière lorsque le rang tend vers l'infini.

On peut distinguer plusieurs sortes de divergences:

Divergence vers plus l'infini
Une suite peut être divergente car elle prend, sans limite, des valeurs de plus en plus gandes, on dit alors qu'elle diverge vers plus l'infini.  On peut prouver cette divergence en démontrant que:
Aussi grand que soit le nombre "b", il existe un rang "p" tels que pour tout n supérieur ou égal p on a Un supérieur ou égal b
Exemples de fonction divergentes vers plus l'infini:
- un = 2n +4
- un = n2

Divergence vers moins l'infini
Une suite peut être divergente car elle prend, sans limite, des valeurs de plus en plus plus petites, on dit alors qu'elle diverge vers moins l'infini.  On peut prouver cette divergence en démontrant que:
Aussi petit que soit le nombre négatif "b", il existe un rang "p" tels que pour tout n supérieur ou égal p on a Un inféreur ou égal b
Exemples de fonctions divergentes vers moins l'infini:
- un = -2n +4
- un = -n2

Divergence indéterminée
Pour finir une suite peut être divergente si elle ne se stabilise autour s'aucune valeur sans croître ou décroître indéfiniment. La raison la plus fréquente de ce type de divergence est la présence d'un terme qui varie de manière périodique tel qu'une fonction cosinus, sinus ou tangente.
Exemples:
- un = cos(n)
- un = 2sin(n) + 4

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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