Analyse - Cours Première S

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Analyse - Cours Première S

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Représentation graphique d'une suite


Représentation d'une suite générée par une formule directe

Une telle suite est définie à partir d'une formule de type un = f(n). Pour représenter "u", il suffit de tracer la courbe de la fonction "f" et de ne conserver que les points dont les abscisses sont des entiers naturels

Exemple: un = f(n) avec f(x) = 0.2x2 +0,5x - 2

Représentation graphique d'une suite définie par une formule directe


Si l'on ne conserve que les points correspondant à chaque terme on obtient la représentation finale

Représentation graphique d'une suite définie par une formule directe


Représentation d'une suite définie par récurrence

Une telle suite est définie par une relation de type un+1 = f(un) et la donnée du terme initial.

Il existe deux possibilités pour représenter graphiquement une telle suite.

Soit calculer successivement les termes de différents rangs u1 = f(u0) puis u2 = f(u1), u3 = f(u2) etc puis reporter sur le graphe les points ainsi obtenus de coordonnées (0 ; u0), (1 ; u1), (2 ; u2) etc

Soit utiliser la méthode de construction graphique suivante:

Etape 1: tracer la courbe représentant la fonction f
Etape 2: tracer la droite "d" d'équation y = x. Chaque point de cette droite possède une abscisse égale à son ordonnée
Etape 3: placer le point de coordonnées (u0 ; 0)
Etape 4: chercher le point d'ordonnée f(u0), on l'obtient en traçant une droite verticale passant par  (u0 ; 0) et en cherchant son intersection avec la courbe "f". Ce point a comme ordonnée f(u0), ce qui correspond à u1 (puisque u1 = f(u0) )
Etape 5: projeter horizontalement le point de coordonnées (u0 ; u1) sur la droite "d" pour obtenir le point de coordonnées (u1 ; u1), une projection verticale permet ensuite de repporter le point (u1 ; 0) sur l'axe des ordonnées.

Réaliser ensuite pour u1 les même opérations que pour u0 afin d'obtenir u2 et ainsi de suite pour les termes de rang suivant.

Exemple:

La suite u est définie par:
- La relation de récurrence un = 0,5.Un+1 +1
- Le terme initiale u0 = 1

Etape 1: on trace la représentation de la fonction f(x) =0,5.x +1
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape

Etape 2: on trace la droite d'équation y = x
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape 2

Etape 3: on place le point de  coordonnées (u0 ; 0), à savoir (1 ; 0)
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape 3

Etape 4: On obtient f(u0), autrement dit u1, en cherchant l'image de u0 par f
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape 4

Etape 5:  on trace la droite horizontale d'ordonnée u1 puis l'on cherche son intersection avec la droite d'équation y=x afin d'obtenir le point de coordonnées (u1;u1), ce qui permet ensuite de reporter le point (u1;0) sur l'axe des ordonnées
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape 5


On reproduit les étapes 4 et 5 sur (u1;0) afin d'obtenir afin  (u2;0), on les répète sur (u2;0) pour obtenir (u3;0) etc

Obtention de u2
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape 6


Obtention de u3
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape 7


Obtention de u4
Représentation graphique d'une suite définie par récurrence: étape 8


Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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