Analyse - Cours Première S

Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer.
Des liens pour découvrir

Analyse - Cours Première S

Analyse - Cours Première S

Suites géométriques


Définition

Une suite géométrique est une suite "u" définie par la donnée d'un terme initial u0 et une relation de récurrence de la forme:

un+1 = un.q


où "q" est un nombre réel (positif ou négatif ) appelé raison de la suite "u"

Pour définir une suite géométrique il suffit d'indiquer son terme initial ainsi que sa raison.
Une suite géométrique est composée de termes qui sont multipliés par un facteur "q" à chaque nouveau rang

Exemples:
- Si un+1 = un.2 et u0 = 1 alors "u" est une suite géométrique de raison "2" avec u1 = 1.2 = 2 ; u2 = 2.2 = 4 ; u3 = 4.2 = 8,  u4 = 8.2 = 16 etc

- Si un+1 = un. (-3) et u0 = 2 alors "u" est une suite géométrique de raison "-3" avec u1 = 2.(-3) = -6 ; u2 = (-6).(-3) = 18 ; u3 = 18.(-3) = -54 ; u4 = (-54).(-3) = 162 etc

Expression d'une suite arithémique par une formule explicite

Toute suite géométrique peut s'exprimer par une fonction "f" avec f(n) =  un = u0.qn

Réciproquement, si une suite est définie par une fonction "f" de la forme f(x) = a.bx il s'agit d'une suite géométrique de raison q = b et de terme initial u0 = a.

On peut vérifier qu'il est possible de passer d'une forme à l'autre:
un+1 =  u0.qn+1
 un           u0.qn

u
n+1 =  qn+1
 un           qn

u
n+1 =  qn+1-n
 un          

u
n+1 =  q
 un          
un+1 =  q. un           

Variations d'une suite géométrique

Puisque  un+1 =  q on en déduit que:
                un          

- si q est supérieur 1 alors la suite est croissante
- si q = 1 la suite est constante (un = u0)
- si q est compris entre 0 et 1 la suite est décroissante
- si q = 0 la suite est constante à partir de u1 (Un = 0)
- si q est négatif alors la suite n'est pas monotone (elle alterne les termes positifs et négatifs)

Limites

Si la raison est supérieure à 1 alors la suite géométrique diverge vers plus l'infini
Si la raison est égale à 1 alors la suite converge vers u0
Si la raison est comprise entre -1 et 1 alors la suite converge vers 0 
Si la raison est inférieur à -1 alors la suite géométrique diverge en alternant de valeurs positives et négative dont la valeur absolue tend vers l'infini.

Somme des termes d'une suite arithmétique

La somme "S" des N premiers termes d'une suite géométrique (de u0 à uN-1) correspond au produit du terme initial par le rapport de la différence entre 1 et la raison élevée à la puissance du nombre de termes (N) divisé par la différence etre 1 et la raison soit:

S = u0 + u1 + u2 + u3 ........ + uN-1 = u0 .  1-qN  
                                                                  1-q

Si l'on additionne les termes de u0 à uN (soit N+1 termes) alors on obtient:

S = u0 + u1 + u2 + u3 ........ + uN = u0 .  1-qN+1  
                                                               1-q


Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de cookies pour réaliser des statistiques de visites

Pour en savoir plus et paramétrer les traceurs