Analyse - Cours Première S

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Analyse - Cours Première S

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Sens de variation d'une suite numérique

Définitions

Une suite "u" est dite croissante si pour tout n: un+1 supérieur ou égal un
Une suite "u" est dite strictement croissante si pour tout n: un+1 > un
Une suite "u" est dite décroissante si pour tout n: un+1 inféreur ou égal un
Une suite "u" est dite strictement décroissante si pour tout n: un+1 < un
Une suite est dite monotone si elle soit croissante soit décroissante

Remarque: certaines suites ne sont croissantes (ou décroissante) qu'au delà d'un certain rang, dans ce cas les inégalités qui les caractérisent ne sont valables qu'au delà de ce rang et il est nécessaire de préciser ce rang lorsqu'on indique leur variation.

Déterminer les variations d'une suite définie par une formule de type un = f(n)

Si une fonction "f" est caractisée par un type de variation (croissante, décroissante, strictement croissante ou décroissante) sur un intervalle de forme  [ a ; plus l'infini [ ("a" est un réel positif) alors une suite u définie par un = f(n) possède les mêmes variations à partir du plus petit rang inclu dans cet intervalle.

Exemple:
La suite u est caractérisée par un terme général un = (n-5)2
La fonction f(x) = (x-5)2 est croissante sur l'intervalle   [ 5 ; plus l'infini [  donc la fonction u est croissante à partir du rang 5

Pour déterminer les variations d'une suite définie par une formule explicite, il suffit donc de réaliser une étude des variations de la fonction correspondante, en se basant sur notre connaissance des fonctions de références et de leurs combinaisons ou en étudiant le signe de sa dérivée.

Déterminer les variations d'une suite définie par récurrence

Méthode n°1
Pour déterminer les variations d'une suite définie par récurrence on peut étudier le signe de la différence entre un terme et le suivant c'est à dire de Un+1 - Un
- Si pour tout n supérieur ou égal p: Un+1 - Un supérieur ou égal 0 alors la suite est croissante à partir du rang p.
- Si pour tout n supérieur ou égal p: Un+1 - Un > 0 alors la suite est strictement croissante à partir d'un rang p.
- Si pour tout n supérieur ou égal p: Un+1 - Un inféreur ou égal 0 alors la suite est décroissante à partir d'un rang p.
- Si pour tout n supérieur ou égal p: Un+1 - Un < 0 alors la suite est strictement décroissante à partir d'un rang p.
- Si pour tout n supérieur ou égal p: Un+1 - Un = 0 alors la suite est constante à partir d'un rang p.

Méthode n°2
Si les différents termes de la suite sont positifs alors on peut étudier le rapport un+1 / un.
Si ce rapport est supérieur ou égal à 1 alors  un+1 supérieur ou égal un donc la suite est croissante.     
Si ce rapport est strictement supérieur à 1 alors  un+1 > un donc la suite est strictement croissante.   
Si ce rapport est inféreur ou égal à 1 alors  un+1 inféreur ou égal un donc la suite est décroissante.     
Si ce rapport est strictement supérieur à 1 alors  un+1 < un donc la suite est strictement décroissante.   
Si ce rapport est égal à 1 alors un+1 = un donc la suite est constante.     

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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