Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Equation cartésienne d'une droite

Définition

Une équation cartésienne permet de décrire toutes les droites du plan, elle est toujours de la forme suivante:

a.y + b.x + c = 0


Où a, b et c sont des constantes réelles positives ou négatives, a et b ne pouvant être nuls simultanéments (sinon on obtient l'galité c = 0 qui n'a pas de sens)

Remarque
Une équation cartésienne peut aussi s'écire:
a.y +b.x = -c
a.y = -b.x – c
etc

Description des différentes sortes de droites par une équation cartésienne

Si a, b et c sont différents de 0
y = (-b/a).x -(c/a)
On retrouve l'équation réduite d'une fonction affine (décroissante si "a" et "b" ont même signe et croissante s'ils ont des signes opposés)

Si "c" est nul, "a" et "b" nons nul
a.y + b.x = 0
y = -(b/a).x
On retrouve l'équation réduite d'une fonction linéaire

Si b = 0 avec "a" et "c" non nuls
a.y + c = 0
y = -c/a 
Il s'agit de l'équation d'une droite horizontale

Si a = 0 avec "b" et "c" non nuls
b.x + c = 0
x = -c/b 
Il s'agit de l'équation d'une droite verticale

Contrairement aux équations réduites, les équations cartésiennes permettent de décrire la totalité des différentes droites du plan y compris celles qui sont verticales.

Trouver l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur

Toute droite peut être définie à partir de deux points mais on peut aussi la définir à partir d'un point et un vecteur directeur.

Soit vecteur u(xu ; yu) le vecteur directeur d'une droite et A(xA;yA) l'un de ses points. Tout point M(x;y) appartient à la droite à condition que le vecteur vecteur am soit colinéaire au vecteur directeur vecteur u. La colinéarité de ces deux vecteurs implique:
xAM.yu - yAM.xu = 0
(x - xA).yu - (y - yA).xu = 0
yu.x - xu.y - xA.yu + yA.xu = 0

On obtient bien une équation dont la forme est celle d'une équation cartésienne et si l'on compare les deux équations, on obtient:  a = yu ; b = -xu et c = - xA.yu + yA.xu

Conclusion:

Si une droite possède un vecteur directeur vecteur u(xu ; yu) et un point A(xA;yA) alors son équation cartésienne est:

a.y +b.x + c = 0  avec a = yu ; b = -xu ; c = - xA.yu + yA.xu


Trouver un vecteur directeur à partir d'une équation cartésienne

Dans le paragraphe précédent, on a montré que si une droite possède un vecteur directeur vecteur u(xu ; yu) alors la constante réelle "a" de son équation cartésienne a pour valeur "yu" et "b" a pour valeur "-xu" . Réciproquement, si l'on possède une droite d'équation cartésienne a.y + b.x + c = 0 alors on peut en tirer les coordonnées du vecteur directeur vecteur u(xu ; yu) puisque xu = -b  et  yu = a.

Si une droite a pour équation cartésienne a.y + b.x + c = 0 alors  vecteur u( -b ; a ) est un vecteur directeur de cette droite.
 
Droites parallèles

Deux droites (d) et (d') sont parallèles si leurs vecteur directeurs sont colinéaires. Si (d)  a pour équation cartésienne a.y + b.x + c = 0 et (d') a pour équation cartésienne a'.y + b'.x + c' = 0 alors leurs vecteurs directeurs respectifs sont vecteur u( -b ; a ) et  vecteur u'( -b' ; a' ).

Conclusion
Si une droites (d) et a pour équation cartésienne a.y + b.x + c = 0 et une droite (d') a pour équation cartésienne a'.y + b'.x + c' = 0 alors elles ne sont parallèle que si les coordonnées ( -b ; a ) et  ( -b' ; a' ) sont proportionnelle. Si l'on applique la condition de colinéarité entre deux vecteurs on obtient la relation:

(-b).a' = a.(-b')

b.a' = a.b'
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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