Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Expression d'un vecteur en fonction deux vecteurs non colinaires


Exprimer un vecteur du plan en fonction de deux autres vecteurs

Soit vecteur u un vecteur appartenant au même plan que les vecteurs vecteur v et vecteur w (non colinéaires entre eux): il est toujours possible d'exprimer vecteur u comme la somme d'un vecteur colinéaire à vecteur v et d'un vecteur colinéaire à vecteur w. Il existe donc toujours deux réels "a" et "b" tels que vecteur u = avecteur v + bvecteur w

En effet, si les coordonnées des vecteurs sont vecteur u(xu ; yu),  vecteur v(xv ; yv),  vecteur w(xw ; yw) dans le repère orthonormé du plan alors:

(1) xu= axv + bxw  
(2) yu= ayv + byw  

(1') xu.yv= axv.yv + bxw.yv  
(2') yu.xv= ayv.xv + byw.xv  

Si l'on soustrait (2') à (1') on obtient:
xu.yv - yu.xv =  axv.yv - ayv.xv + bxw.yv - byw.xv  
xu.yv - yu.xv = b(xw.yv - yw.xv)

On en déduit la valeur de "b":

b =   xu.yv - yu.xv
       xw.yv - yw.xv 

Pour obtenir "a" on peut procéder d'une manière similaire en multipliant l'équation (1) par yw et l'équation (2)par xw
(1'') xu.yw= axv.yw + bxw.yw  
(2'') yu.xw= ayv.xw + byw.xw          

Si l'on soustrait (2'') à (1'') on obtient:
xu.yw -  yu.xw = axv.yw + bxw.yw  - ayv.xw - byw.xw
xu.yw -  yu.xw = a(xv.yw - yv.xw)

On en déduit la valeur de "a"

a =  xu.yw -  yu.xw         
       xv.yw - yv.xw

Conclusion: si un plan comporte les vecteurs vecteur v(xv ; yv),  vecteur w(xw ; yw) non colinéaires alors tout vecteur vecteur u(xu ; yu)  de ce plan peut s'exprimer à partir des ces vecteurs à partir d'une relation de forme:

 vecteur u = avecteur v + bvecteur w

Avec

b =   xu.yv - yu.xv           et            a =  xu.yw -  yu.xw           
      xw.yv - yw.xv                                xv.yw - yv.xw          


Remarque: l'expressions de "a" et "b" sous forme de fraction implique que leur dénominateur ne soit pas nul or la
condition  xv.yw - yv.xw = 0 équivaut à la colinéarité des vecteurs  vecteur v et vecteur w qui est écartée dans les hypothèses de départ.

Utiliser deux vecteurs comme base du plan

Si deux vecteurs  vecteur v et vecteur w non colinéaires permettent d'exprimer n'importe quel vecteur vecteur u du plan alors ces deux vecteurs peuvent servir de nouvelle base pour ce plan.

Dans l'expression  vecteur u = avecteur v + bvecteur w les valeurs "a" et "b" correspondent alors aux coordonnéer du vecteur  vecteur u  dans la base de vecteur  (vecteur v ; vecteur w)

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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