Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Vecteur directeur d'une droite

Définition

Un vecteur vecteur u est le vecteur directeur d'une droite "d" s'il est colinéaire à tout vecteur défini à partir de deux points de cette droite.

vecteur directeur de la droite d
Le vecteur vecteur u est colinéaire à vecteur AB, c'est donc un vecteur directeur de (d)


Conséquences:

- Le vecteur directeur d'une droite a la même direction que cette droite.
- Il est aussi le vecteur directeur de toutes les droites parallèles à la droite "d"
- Tout vecteur vecteur v colinéaire à vecteur u (c'est à dire tel que      = k.vecteur u) est aussi un vecteur directeur de la droite  "d".

deux droites parallèles ayant le même vecteur directeur
les doites (d) et (d') sont parallèles, puisque vecteur u est un vecteur directeur de (d) c'est aussi un vecteur directeur de (d')
vecteurs directeurs colinéaires
Les  vecteur v, vecteur w, et vecteur z sont tous colinéaires à vecteur u qui est un vecteur direceur de (d), ils sont aussi des vecteurs directeurs de (d)
Par contre vecteur t n'est pas colinéaire à vecteur u ce n'est donc pas un vecteur directeur de (d)


Trouver le vecteur directeur d'une droite à partir de deux de ses points

Si les points A(xA;yA) et B(xB;yB) appartiennent à une droite "d" alors le vecteur vecteur uvecteur AB est un vecteur directeur de cette droite et ses coordonnées sont:
xu = xB - xA
yu = yB - yA

Si A(xA;yA) et B(xB;yB) sont les deux points d'une droite alors vecteur u (xB - xA ; yB - yA) est l'un des vecteurs directeurs de cette droite.

Vecteur directeur AB
Puisque A et B sont deux point de (d) et que vecteur uvecteur AB alors vecteur u est un vecteur directeur de (d)


Trouver le vecteur directeur d'une droite "d" à partir de son équation

Si une droite a pour équation réduite y =ax + b alors il suffit de déterminer deux points de cette droite pour trouver un vecteur unitaire.
On peut choisir le point de coordonnées  A(xA;yA) ainsi que le point M ayant comme abscisse xM =  xA + 1 et comme ordonnée yM = axM + b soit yM = a.(xA + 1) +b

Dans ce cas le vecteur directeur vecteur u = vecteur am a pour coordonnées:

xu = xM - xA
     = xA + 1 - xA
     = 1

yu = yM - yA
     = a.(xA + 1) +b - yA
     = a.(xA + 1) +b - (a.xA +b)
     = a.xA + a + b - a.xA - b
     = b

Une droite dont l'équation réduite est y a.x + b possède toujours comme vecteur directeur vecteur u(1 : a) 

Vecteur directeur d'une droite à partir de son équation


Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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