Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Les angles orientés de vecteurs et leurs propriétés

Angle orienté de deux vecteurs identiques

Angle nul entre vecteurs identiques


L'angle orienté entre deux vecteurs identiques est un angle nul (à 2π près):

vecteur u ; vecteur u) = 0  (2π)


Angle orienté de deux vecteurs opposés

angle plat entre deux vecteurs opposés


L'angle orienté entre deux vecteurs opposés est un angle plat qui vaut  π (180°) (à 2π près):

vecteur u ; -vecteur u) = π (2π) et (- vecteur uvecteur u) = π (2π)


Relation de Chasle pour les angles orientés

Cette relation peut s'appliquer lorsque deux angles orientés font intervenir un même vecteur

Pour tous vecteurs vecteur u, vecteur v et vecteur w quelconques, la somme de la mesure de l'angle entre le vecteur vecteur u et le vecteur vecteur v et de la mesure de l'anle entre le vecteur vecteur v et le vecteur vecteur w est égale à l'angle entre le vecteur vecteur v et le vecteur vecteur w:

 (vecteur uvecteur v) + (vecteur v ; vecteur w) = (vecteur u ; vecteur w) (2π)   

 

Relation de chasle angles


Comparaison des angles orientés (vecteur uvecteur v) et (vecteur v ; vecteur u)

D'après la relation de Chasle on peut écrire que:

(vecteur v ; vecteur u) + (vecteur u ; vecteur v) = (vecteur v ; vecteur v)

(vecteur v ; vecteur u) + (vecteur u ; vecteur v) = 0  (2π)

(vecteur v ; vecteur u) = - (vecteur u ; vecteur v) (2π)

Pour tout angle (vecteur uvecteur v) on a la relation:  (vecteur v ; vecteur u) = - (vecteur u ; vecteur v) (2π)


Lorsqu'on inverse l'ordre des vecteurs qui expriment un angle orienté on obtient un angle dont la mesure principale a même valeur mais un signe opposé.

Comparaison des angles orientés (vecteur uvecteur v) et (-vecteur u ; -vecteur v)

D'après la relation de Chasle on peut écrire que:

(-vecteur u ; -vecteur v) = (-vecteur uvecteur u) + (vecteur u ; vecteur v) + (vecteur v ; -vecteur v)

Or (-vecteur uvecteur u) = π + (2π) et  (vecteur v ; -vecteur v) π  (2π) (ce sont des angles plats) donc leur somme est π + π (2π) = 2π (2π) soit un angle nul.    

(-vecteur u ; -vecteur v) = (vecteur u ; vecteur v) + 0 (2π)

Pour tout angle (vecteur uvecteur v) on a la relation:  (-vecteur u ; -vecteur v) =  (vecteur u ; vecteur v) +  (2π)

La mesure d' angle orienté de deux vecteurs est donc égale à la mesure de l'angle des opposés de ces vecteurs.

Comparaison des angles orientés (-vecteur uvecteur v) et (vecteur uvecteur v)

D'après la relation de Chasle on peut écrire que:

(-vecteur uvecteur v) = (-vecteur uvecteur u) + (vecteur u ; vecteur v)

(-vecteur uvecteur v) =  π  (2π) + (vecteur u ; vecteur v)

Pour tout angle (vecteur uvecteur v) on a la relation:  (-vecteur uvecteur v) =  (vecteur u ; vecteur v) + π  (2π)

De même on peut démontrer que (vecteur u ; -vecteur v) =  (vecteur u ; vecteur v) + π  (2π)
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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