Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Cosinus et sinus d'angles associés


Sinus et cosinus d'angles associés opposés

Soit "x" un angle et "-x" son angle associé

Sinus et cosinus d'angles opposés

Cos (-x) = cos (x) et sin (-x) = - sin(x)


Le cosinus d'un angle a même valeur que cosinus de son angle opposé.
Le sinus d'un angle à une valeur opposée à celle du sinus de son angle opposé.

Sinus et cosinus d'angles associés complémentaires

Soit "x" un angle " x - π   " son angle complémentaire  
                                   2

Sinus et cosinus d'angles complémentaires

 

Cos( x - π   ) = sin(x) et sin (x - π   ) = cos(x)
     2                                    2        

Le sinus d'un angle a donc la même valeur que le cosinus de son angle complémentaire.
Le cosinus d'un angle a donc la même valeur que le sinus de son angle complémentaire.

Sinus et cosinus d'angles associés supplémentaires

Soit "x" un angle et - x" son angles supplémentaire.

Sinus et cosinus d'angles supplémentaires

 

Cos (π - x) = - cos(x) et sin (π - x) = sin(x)


Le cosinus d'un angle a donc une valeur opposée à celle du cosinus de son angle supplémentaire.
Le sinus d'un angle a donc la même valeur que celle du sinus de son angle supplémentaire.         

Sinus et cosinus d'angles anticomplémentaires

Soit "x" un angle et" x + π "  son angle anticomplémentaire.
                                       2

Sinus et cosinus d'angles anticomplémentaires

 

Cos(x + π ) = - sin (x) et sin (x + π ) = cos (x)
             2                                     2                

Le sinus d'un angle est donc égal à l'opposé du cosinus de son angle anticomplémentaire.
Le cosinus d'un angle est égal au sinus de son angle anticomplémentaire.

Résoudre une équation du type sin(x) = sin(a)

Les résultats obtenus en comparant les cosinus et sinus d'angles associés permettent de proposer des solutions à certaines équations faisant intervenir des sinus et des cosinus. En particulier il possible de résoudre l'équation suivante:

Sin(x) = sin(a)

où x est l'inconnue et "a" une constante réelle

Première solution x = a

Cette solution s'acompagne également de tous les angles égaux à

x = a + k2π  avec k un entier relatif
 
Par ailleur le sinus d'un angle à la même valeur que le sinus de son angle supplémentaire, une autre solution est donc:

x = π - a

Par ailleurs cet angle est équivalent a tous ceux obtenu en ajoutant un multiple de 2π on peut donc inclure aussi dans les solutions:

x = π - a  + k2π  ou k est un entier relatif  

L'équation sin(x) = sin(a) comprend donc une infinité de solutions correspondant aux réels tels que

x = a + k2π ou  x = π - a  + k2π  où "k" est entier naturel
                
Résoudre une équation du type cos(x) = cos(a)

Les comparaisons de sinus et cosinus d'angles associés contribuent à la résolution de l'équation suivante:

cos(x) = cos(a)

où x est l'inconnue et "a" une constante réelle

Première solution x = a

Cette solution s'acompagne également de tous les angles égaux à

x = a + k2π  avec k un entier relatif
 
Par ailleur le cosinus d'un angle à la même valeur que le cosinus de son angle opposé, une autre solution possible est donc:

x = - a

Par ailleurs cet angle est équivalent a tous ceux obtenu en ajoutant un multiple de 2π on peut donc ajouter également les solutions suivantes:

x = - a  + k2π  ou k est un entier relatif  

L'équation cos(x) = cos(a) comprend donc une infinité de solutions correspondant aux réels tels que

x = a + k2π ou  x = π - a  + k2π  où "k" est entier naturel

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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