Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Equation d'un cercle


Etablir l'équation d'un cercle à partir de son diamètre

Si AB est le diamètre d'un cercle de centre O alors celui-ci possède une propriété qui peut être exploitée pour établir son équation:

Si un point M(x;y) appartient au cerle alors (AM) est perpendiculaire à (BM) autrement dit les vecteurs Vecteur AM et vecteur BM sont orthogonaux.

Equation d'un cercle à partir de son diamètre


Le produit scalaire de ces deux vecteur est donc nul: Vecteur AM.vecteur BM = 0

Or ce produit scalaire peut également être exprimé à partir des coordonnées des vecteur:

Vecteur AM.vecteur BM = xAM.xBM + yAM.yBM
            = (x-xA).(x-xB) + (y-yA).(y-yB)

Puisque le produit scalaire est nul on obtient donc l'équation du cercle:

(x-xA).(x-xB) + (y-yA).(y-yB) = 0

Tout cercle de diamète AB peut être décrit par l'équation (x-xA).(x-xB) + (y-yA).(y-yB) = 0


Etablir l'équation d'un cercle à partir de son rayon
 
Le produit scalaire précédent (Vecteur AM.vecteur BM) peut être développé:

Vecteur AM.vecteur BM = (vecteur AOvecteur-om).(vecteur BOvecteur-om)
             = vecteur AO.vecteur BO + vecteur AO.vecteur-om +vecteur-om.vecteur BO + vecteur-om.vecteur-om
             = (vecteur AO+vecteur BO).vecteur-om + vecteur AO.vecteur BO + vecteur-om2

Puisque O est le milieu du segment [AB] vecteur BO = -vecteur AO donc vecteur AO+vecteur BOvecteur nul  et vecteur AO.vecteur BO = - vecteur AO.vecteur AO = - AO2 on obtient donc;

Vecteur AM.vecteur BMvecteur nul.vecteur-om  - AO2 +   vecteur-om2
            = - AO2 +   vecteur-om2

Puisque le produit scalaire Vecteur AM.vecteur BM est nul ont obtient on trouve l'équation:

vecteur-om2 - AO2 = 0   

AO peut être noté R puisqu'il correspond au rayon donc:

(x-xO)2 + (y-yO)2 + R = 0

Tout cercle de rayon R et de centre O peut être décrit par l'équation (x-xO)2 + (y-yO)2 + R = 0


 
   

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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