Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Formules d'addition et de duplication des sinus et cosinus


Formules d'addition des sinus et cosinus

Ces formules permettent d'exprimer les cosinus et les sinus pour des sommes ou des différences.

On considère des vecteurs unitaires (dont la norme est 1) situés dans le cercle trigonométrique: vecteur u tel (vecteur unitaire i,vecteur u) = b et vecteur v tel que (vecteur unitaire i,vecteur v) = a

Utilisation du cercle trigonométrique pour établir la formule d'addition des cosinus


Dans cercle les coordonnées des vecteurs sont vecteur u(cos(a);sin(a)) et vecteur v (cos(b);sin(b))

Le produit scalaire de ces deux vecteurs peut être exprimé d'une part à l'aide des norme et des angles:

vecteur u . vecteur v= ||vecteur u||.||vecteur v||.cos(a-b)
         = 1 . 1 . cos(a-b)
         =
cos(a-b)

On peut aussi exprimer ce produit scalaire en utilisant les coordonnées des deux vecteurs:

vecteur u . vecteur v= cos(b).cos(a) + sin(b).sin(a)

Pour tous les les angles "a" et "b" on a donc l'égalité: cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)


Si dans la formule précédent on remplace "b" par "-b", on obtient une nouvelle égalité:

cos(a-(-b)) = cos(a).cos(-b) + sin(a).sin(-b)

cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b)  ( car cos(-b) = cos(b) et sin(-b) = -sin(b) )

Pour tous les les angles "a" et "b" on a: cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b)


On considère maintenant cos(π/2 -(a-b)):

D'une part cos(π/2 -(a-b)) = sin(a-b) (car sin(cos(π/2 -x) = sin(x))

D'autre part cos(π/2 -(a-b) = cos(π/2 -a + b) on donc considérer que l'angle est la somme de π/2 - a et de b, on peut appliquer la formule démontrée précédemment.
           
cos(π/2 -a + b) = cos(π/2 -a).cos(b) - sin/2 -a).sin(b)
                        = sin(a).cos(b) - cos(a).sin(b)

Pour tous les angles "a" et "b" on a donc: sin(a-b) = sin(a).cos(b) - cos(a).sin(b)


Si dans la formule précédente "b" est remplacé par "-b" on obtient une nouvelle égalité:

sin(a- (-b)) = sin(a).cos(-b) - cos(a).sin(-b)
sin(a + b) = sin(a).cos(b) - cos(a).(-sin(b))

Pour tous les angles "a" et "b" on a donc: sin(a+b) = sin(a).cos(b) + cos(a).sin(b)


Formules de duplication des sinus et cosinus

Si dans l'égalité cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b) on remplace "b" par "a", on obtient:

cos(a+a) = cos(a).cos(a) - sin(a).sin(a)
cos(2a) = cos2(a) - sin2(a)

Par ailleurs cos2(a) + sin2(a) = 1 donc cos2(a) = 1 - sin2(a) et sin2(a) = 1 - cos2(a) ce qui permet d'aboutir aux égalités:

Cos(2a) = cos2(a) -(1 - cos2(a))
              = 2cos2(a) -1

ou
Cos(2a) = 1 - sin2(a) - sin2(a)
              = 1 - 2sin2(a)

Pour tous les angles "a" et "b" on a donc:

cos(2a) = cos2(a) - sin2(a)

cos(2a) = 2cos2(a) -1

cos(2a) = 1 - 2sin2(a)


Si l'on remplace maintenant "b" par "a" dans la formule sin(a+b) = sin(a).cos(b) + cos(a).sin(b) on obtient:

sin(a+a) = sin(a).cos(a) + cos(a).sin(a)
sin(2a) = 2.sin(a).cos(b)

Pour tous les angles "a" et "b" on a donc:   sin(2a) = 2.sin(a).cos(b)
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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