Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Le produit scalaire et les différentes méthodes pour le calculer


Le produit scalaire est une opération qui associe à deux vecteurs vecteur u, vecteur v du plan, un réel (positif ou négatif). Il existe  différentes méthodes qui permettent de le calculer.

Le produit scalaire d'un vecteur vecteur u par un vecteur vecteur v se note vecteur u . vecteur v  (ce qui se lit "u scalaire v")

Calculer un produit scalaire à partir des normes et d'un angle

Produits scalaire à partir des normes et de l'angle


Le produit scalaire de deux vecteurs vecteur u et vecteur v  de normes respectives ||vecteur u|| et ||vecteur v|| faisant entre eux un angle (vecteur u, vecteur v) = θ (lettre grecque thêta) peut être calculé en faisant le produit de leurs normes et du cosinus de leur angle, soit:

vecteur u . vecteur v = ||vecteur u||.||vecteur v||.cos(θ)


Cette expression implique que:
- le produit scalaire n'est nul que si l'un des vecteurs est nul ou si les vecteurs sont perpendiculaires ( θ =   π  (2π) )
                                                                                                                                                                               2
- le produit scalaire est positif lorque l'angle est aigu et négatif lorsque l'angle est obtu
- le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est égal à vecteur uvecteur u = ||vecteur u||.||vecteur u||.cos(0) = ||vecteur u||2. Un tel produit scalaire est en général noté vecteur uvecteur uvecteur u2    

Calculer un produit scalaire avec une projection orthogonale

produit scalaire et projection orthogonale


Dans l'expression précédente du produit scalaire, le produit ||vecteur v||.cos(θ), correspond à la projection orthogonale du vecteur vecteur v sur le vecteur vecteur u. Si l'on note vecteur v' le vecteur résultant de cette projection alors le produit scalaire peut se calculer à partir de l'expression suivante:

vecteur u . vecteur vvecteur u.vecteur v'

 

  vecteur u . vecteur v =||vecteur u||.||vecteur v'|| si  θ est un angle aigu et vecteur u . vecteur v = - ||vecteur u||.||vecteur v'|| si  θ est un angle obtu


Calculer un produit scalaire uniquement avec des normes

||vecteur u + vecteur v||2 = vecteur u2 + vecteur v2 +2vecteur u . vecteur v

On peut donc en déduire que :

vecteur u . vecteur v = 0,5.[ ||vecteur u + vecteur v||2vecteur u2 -   vecteur v2  ]    


||vecteur u - vecteur v||2 = vecteur u2 + vecteur v2 -2vecteur u . vecteur v

On également en déduire que:

vecteur u . vecteur v = 0,5.[ vecteur u2 + vecteur v2 - ||vecteur u + vecteur v||2  ]    



Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé

D'après les relations du paragraphe précédent:

vecteur u . vecteur v = 0,5.[ ||vecteur u + vecteur v||2vecteur u2 -   vecteur v2  ]    

         = 0,5.[ (xu +xv)2 + (yu + yv)2 - (xu2 + yu2) - (xv2 +yv2)]
         = 0,5.[ xu2 + xv2 + 2xuxv + yu2 + yv2 + 2yuyv - xu2 - yu2 - xv2 - yv2]
         = 0,5.[ + 2xuxv + 2yuyv ]
         = xuxv + yuyv

Le produit scalaire d'un vecteur vecteur u(x ; y) avec un vecteur vecteur v (x';y') peut donc être calculé en utilisant la relation suivante:  

vecteur u . vecteur v =  x.x' + y.y'
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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