Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Propriétés du produit scalaire

Les différentes expressions du produit scalaire permettent de déduire des propriétés applicables lors des calculs. Certaines de ces propriétés présentes de fortes analogies avec celles des nombres réel: commutativité, distributivité, identités remarquables etc

La commutativité du produit scalaire

Le produit scalaire deux vecteurs  vecteur u(x ; y ) et vecteur v (x';y') peut  être exrprimé par la relation:

vecteur u . vecteur v=  x.x' + y.y'

Si l'on inverse ces deux vecteurs (on les commute) alors

vecteur vvecteur u =  x'.x + y'.y

Puisque x.x' + y.y' = x'.x + y'.y on déduit donc que

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v ,  vecteur u . vecteur v= vecteur vvecteur u


Le produit vectoriel est commutatif, quel que soit l'ordre dans lequel interviennent les deux vecteur, le résultat reste le même.

Commutativité des facteur réels

Soit k une constante réel alors;

k(vecteur u . vecteur v) = k (x.x' + y.y')
              = kx.x' + ky.y'

(kvecteur u) . vecteur v = (kx).x' + (ky).y
              = kx.x' + ky.y'   

vecteur u . (kvecteur v) = x.(kx') + y.(ky)

Ces trois résultats perment de déduire que:

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v et toute constante réelle k:  k(vecteur u . vecteur v) = (kvecteur u) . vecteur v = vecteur u . (kvecteur v)


Distributivité

Soit trois vecteurs  vecteur u(x ; y ), vecteur v (x';y') et vecteur w (x'';y'').
vecteur w.(vecteur u + vecteur v) = x''(x+x') + y''(y+y')
                = x''x + x''x' + y''y + y''y'
                =   x''x + y''y  + x''x' +y''y'
Le terme   x''x + y''y  correspond au produit scalaire vecteur w.vecteur u et le terme x''x' +y''y' correspond au produit scalaire vecteur w.vecteur v on peut donc en déduire:

Pour tous vecteurs  vecteur u, vecteur v et vecteur w :  vecteur w.(vecteur u + vecteur v) =  vecteur w.vecteur u + vecteur w.vecteur v


On pourrait en suivant le même raisonnement démontrer la double distributivité:

Pour tous vecteurs  vecteur u, vecteur v, vecteur w et vecteur z:    ( vecteur w+vecteur z).(vecteur u + vecteur v) =  vecteur w.vecteur u + vecteur w.vecteur vvecteur z.vecteur uvecteur z.vecteur v

 
Identités remarquables

(vecteur u + vecteur v)2 = (vecteur u + vecteur v).(vecteur u + vecteur v)
               = vecteur u.vecteur uvecteur u.vecteur vvecteur v.vecteur uvecteur v.vecteur v
                = vecteur u2vecteur u.vecteur vvecteur v.vecteur uvecteur v2
                 = vecteur u2 +2vecteur u.vecteur vvecteur v2

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v :    (vecteur u + vecteur v)2 = vecteur u2 + 2vecteur u.vecteur vvecteur v2


(vecteur u - vecteur v)2 = (vecteur u - vecteur v).(vecteur u - vecteur v)
               = vecteur u.vecteur u - vecteur u.vecteur vvecteur v.vecteur uvecteur v.vecteur v
                = vecteur u2vecteur u.vecteur vvecteur v.vecteur uvecteur v2
                 = vecteur u2 - 2vecteur u.vecteur vvecteur v2

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v :    (vecteur u - vecteur v)2 = vecteur u2 -2vecteur u.vecteur vvecteur v2


(vecteur u + vecteur v).(vecteur u - vecteur v) = vecteur u.vecteur u - vecteur u.vecteur vvecteur v.vecteur uvecteur v.vecteur v
                        =  vecteur u2 + 0 - vecteur v2
                        =  vecteur u2vecteur v2
         

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v :  (vecteur u + vecteur v).(vecteur u - vecteur v) = vecteur u2vecteur v2
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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