Géométrie - Cours Première S

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Application du produit scalaire au calcul d'angles: le théorème d'Al-Kashi


Le théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de pythagore qui s'applique dans les tous les triangles (et pas seulement les triangles rectangle) où il permet de calculer la longueur des différents cotés mais aussi la valeur des angle de chaque sommet.

Il est possible démontrer ce théorème en utilisant les produits scalaires et leurs propriétés.

On considère un triangle quelconque ABC dans lequel, pour simplifier:
- Le coté BC (opposé au sommet A) a une longueur notée "a"
- Le coté AB (opposé au sommet C) a une longueur notée "c"
- Le coté AC (opposé au sommet B) a une longueur notée "b"
- L'angle Bangle AC est noté angle A
- L'angle Cangle bA est noté angle b
- L'angle Aangle CB est noté angle C

Utilisation du théorème d'Alkashi dans un triangle


Le produit scalaire du vecteur vecteur BC par lui même est égal à:

vecteur BC.vecteur BC = vecteur BC2
          = BC2
          = a2

On peut également exprimer vecteur BC comme la somme du vecteur vecteur ba  et du vecteur vecteur AC:

vecteur BC.vecteur BC = (vecteur ba + vecteur AC).(vecteur ba + vecteur AC)
          = (-vecteur AB + vecteur AC).(-vecteur AB + vecteur AC)
          = (vecteur AC - vecteur AB).(vecteur AC - vecteur AB)
          = (vecteur AC - vecteur AB)2    

On reconnait une identité remarquable de la forme (vecteur u - vecteur v)2 = vecteur u2 -2vecteur u.vecteur vvecteur v2

vecteur BC.vecteur BC = vecteur AC2 + vecteur AB2 -2vecteur AC.vecteur AB
          = AC2+ AB2 - 2vecteur AC.vecteur AB
           = b2 + c2 -2bc.cos(angle A)

On obtient donc finalement l'égalité:

 a2  = b2 + c2 -2bc.cos(angle A)

Cette relation permet de calculer la longueur "a" si "b", "c" et l'angle angle A sont connus mais elle permet également d'isoler et de calculer cos(angle A):   cos(angle A)  = (b2 + c2 - a2 )/(2bc) ce permet d'en déduire la mesure de l'angle angle A.

Cette relation peut se généralise donc d'après le théorème d'Al-Kashi:

a2  = b2 + c2 -2bc.cos(angle A)

b2  = a2 + c2 -2ac.cos(angle b)

c2  = b2 + a2 -2ba.cos(angle C)


Le carré du coté opposé à un sommet du triangle est la somme du carré du premier coté adjacent et du carré du deuxième coté adjacent auquel on retranche le produit du premier coté adjacent par le deuxième coté adjacent  par le cosinus de l'angle de ce sommet.

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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