Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Application du produit scalaire au calcul de longueurs: le théorème de la médiane


Rappel de la définition de la médiane: dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est le segment qui joint ce sommet au milieu du coté oposé.

Le théorème de la médiane permet de caluler la longueur d'une médiane lorsqu'on connait celle des cotés.

Il est possible de démontrer ce théorème en faisant appel au produit scalaire et ses propriété

On considère un triangle ABC, et l'une de ses médianes issue du sommet "A" et passant par le milieu "I" du coté BC

Triangle et une de ses médianes


Si l'on considère le produit scalaire du vecteur vecteur BC par lui même:

vecteur BC.vecteur BC = vecteur BC2
          = BC2

Le vecteur vecteur BC peut également être exprimé comme la somme du vecteur vecteur ba et et vecteur vecteur AC on a donc également l'égalité suivante:

vecteur BC.vecteur BC = (vecteur ba + vecteur AC).(vecteur ba + vecteur AC)
          = (-vecteur AB + vecteur AC).(-vecteur AB + vecteur AC)
          =(vecteur AC - vecteur AB).(vecteur AC - vecteur AB)

Il s'agit d'une identité remarquable (vecteur u - vecteur v)2 = vecteur u2 -2vecteur u.vecteur vvecteur v2

vecteur BC.vecteur BC = vecteur AC2 + vecteur AB2 -2vecteur AC.vecteur AB
          = AC2+ AB2 - 2vecteur AC.vecteur AB

Le vecteur vecteur AB peut être exprimé comme la somme vecteur AI + vecteur IB et le vecteur  vecteur AC peut être exprimer comme la somme vecteur AI + vecteur ic

vecteur BC.vecteur BC = AC2+ AB2 - 2(vecteur AIvecteur ic).(vecteur AI + vecteur IB)

Puisque le point "I" est le milieu du segment [AB]: vecteur IB = -vecteur ic

vecteur BC.vecteur BC = AC2+ AB2 - 2(vecteur AIvecteur ic).(vecteur AI - vecteur ic)

Le dernier terme correpsond à une identité remarquable du type (vecteur u + vecteur v).(vecteur u - vecteur v) = vecteur u2vecteur v2

vecteur BC.vecteur BC =AC2+ AB2 - 2(AI2 -IC2)  

Avec IC = 0,5.BC  (IC est la moitié de BC)

vecteur BC.vecteur BC = AC2+ AB2 - 2(AI2 -(0,5BC)2)  
          = AC2+ AB2 - 2(AI2 - 0,25.BC2)
          = AC2+ AB2 - 2(AI2 - 0,25.BC2)
          = AC2+ AB2 - 2AI2 + 0,5.BC2 

D'après la première égalité  vecteur BC.vecteur BC = BC2 donc:  
BC2 = AC2+ AB2 - 2AI2 + 0,5.BC2 
BC2 - 0,5.BC2 +  2AI2  = AC2+ AB2   
0,5.BC2 +  2AI2  = AC2+ AB2

On aboutit au théorème de la médiane
Dans un triangle quelconque ABC où I est le milieu de BC alors la longueur AI de la médiane issue de A resepecte l'égalité  suivante:

0,5.BC2 +  2AI2  = AC2+ AB2


Remarques:

- Cette expression permet facilement d'en déduire la longueur AI de la médiane ( il s'agit de la racine carrée de  0,5.AC2+ 0,5.AB2- 0,25  BC2) mais cette formulation est simple à retenir.
 
- Ce résultats peut être adapé aux médiane du triangle, d'une manière générale:

la somme de la moitité du carré du coté opposé et du double du carré de la médiane est égale à la somme du  carrée du premier coté adjacent et du carré du deuxième coté adjacent.

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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