Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Vecteur normal à une droite


Conditions pour qqu'un vecteur soit normal à une droite

On dit qu'un vecteur vecteur n est normal  à une droite (d) si leur directions sont perpendiculaires (le vecteur et la doite forment un angle de 90°).

Si un vecteur vecteur n est normal  à une droite (d) alors tout vecteur directeur vecteur u de cette droite est orthogonal à vecteur n ce qui implique que le produit scalaire des deux vecteurs est nul: vecteur u.vecteur n = 0

Determiner l'équation cartésienne d'une doite à partir d'un vecteur normal

vecteur normal à une droite


Soit (d) une droite à laquelle à partient un point A(xA;yA) ainsi qu'un point M(x;y). Si vecteur n(a;b) est un vecteur normal à la droite alors le produit scalaire du vecteur normal et du vecteur vecteur AM est nul:

vecteur n.vecteur AM = 0
a.(x-xA) + b(y-yA) = 0
ax + by - axA  - byA = 0

On retrouve bien la la forme d'une équation cartésienne de droite

Si une droite a pour vecteur normal vecteur n(a;b) alors son équation cartésienne est de forme ax + by + c

Trouver un vecteur normal à une droite

Si un vecteur vecteur n a pour coordonnées vecteur n(a;b) et un vecteur vecteur u a pour coordonnée vecteur u(-b.a) alors leur produits scalaire est :
vecteur n.vecteur u = a(-b) + ba
        = -ab + ab
        = 0

Toute droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0  admet un vecteur directeur vecteur u(-b.a) mais elle admet aussi un vecteur normal vecteur n(a;b)

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