Statistiques - probabilités - Cours Première S

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Statistiques - probabilités - Cours Première S

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Variance et écart type

Définition de la variance

La variance est grandeur notée V, toujours positive qui correspond à la moyenne de du carré de la différence entre les valeurs d'une série statistiques et la moyenne de cette série.

Si une série statistique porte sur une population d'effectif total "N", dont la moyenne des valeurs étudiées est moyenne x barre, où chaque valeur x1, x2, x3, x4....xk est respectivement associée à un effectif n1, n2, n3, n4... nk alors la variance "V" de cette série peut être calculée grâce à la formule suivante:

V =   n1(x1- moyenne x barre)2 + n2(x2- moyenne x barre)2 + n3(x3- moyenne x barre)2 + n4(x4- moyenne x barre)2 .... + nk(xk - moyenne x barre)2                
       N              


Il est possible de condenser cette expression en utilisant la lettre grecque majuscule sigma (Σ) qui permet de symboliser une somme de termes distingués par un indice différent, en général noté "i" dont la première valeur est indiquée en bas et la dernière en haut. On obtient ainsi:

V =  sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2    
              N          

Le terme en 1/N étant constant, il peut être mis en facteur donc on peut également écrire:

V =  1  sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2    
       N                         


Les autres expressions possibles de la variance

La fréquence fi assocciée à une valeur xi est égale au rapport de l'effectif ni par l'effectif totale soit fi = ni    
                                                                                                                                                                         N
La formule de la variance peut donc s'écrire:

V = sigma somme de i=1 à i=k  fi(xi -moyenne x barre)2    


Si l'on développe le carré on obtient:                     
(xi -moyenne x barre)2 = xi2 - 2ximoyenne x barre  + moyenne x barre2     
sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2 = sigma somme de i=1 à i=k nixi2 - sigma somme de i=1 à i=k ni2ximoyenne x barre + sigma somme de i=1 à i=k ni moyenne x barre2        

sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2 =  sigma somme de i=1 à i=k nixi2 -2moyenne x barresigma somme de i=1 à i=k nixi + moyenne x barre2 sigma somme de i=1 à i=k ni   or   sigma somme de i=1 à i=k ni = N et  sigma somme de i=1 à i=k nixi= Nmoyenne x barre

sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2 =  sigma somme de i=1 à i=k nixi2 -2moyenne x barre.Nmoyenne x barre + moyenne x barre2.N    

sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2 =  sigma somme de i=1 à i=k nixi2 -2moyenne x barre2.N + moyenne x barre2.N    

sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2 =  sigma somme de i=1 à i=k nixi2 -Nmoyenne x barre2      
   
V =  1 . sigma somme de i=1 à i=k ni(xi -moyenne x barre)2 = 1 . [ sigma somme de i=1 à i=k nixi2 -Nmoyenne x barre2]    
       N                        N

Au final on obtient l'expression suivante:

      V  = (  1  .  sigma somme de i=1 à i=k nixi2) - moyenne x barre2    
         N                      


Cette formule est la plus simple à utiliser pour calculer la variance, elle indique également qu'elle peut être interprétée comme la différence entre la moyenne des carrés des valeurs et le carré de la moyenne.

Exemple de calclul d'une variance

notes obtenues par les élèves d'une classe à un contrôle

Note sur 10  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre d'élèves 0 1 2 8 7 5 3 2 2 2 2
Effectifs cumulés 0  1 3 11  18 23 26 28 30 32  34


Si on applique la formule    V  = (  1  .  sigma somme de i=1 à i=k nixi2) - moyenne x barre2    
                                                     N        
On doit d'abord calculer la moyenne:   moyenne x barre = ( 0x0 + 1x1 + 2x2 + 8x3 + 7x4 + 5x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 9x2 + 10x2) : 34
                                                              moyenne x barre =  4,94
V = [  1  . (  0x02 + 1x12 + 2x22 + 8x32 + 7x42 + 5x52 + 3x62 + 2x72 + 2x82 + 9x22 + 10x22)] - 4,94   
        34
V = [  1  . (728)] - 4,94   
        34
V = (21,41-4,94)

V = 16,47

L'écart type

L'écart type est une grandeur toujours positive, notée "s", définie comme la racine carrée de la variance:

s =  racine carrée de v


C'est une grandeur qu'il est difficile de se représenter mais qui reflète bien la dispersion des différentes valeurs autour de la moyenne: plus l'écart type est petit et plus les valeur de la série statistique sont concentrées autour de la moyenne, plus  l'écart type et plus les valeur ont tendance à sen éloigner.

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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