Statistiques - probabilités - Cours Première S

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Statistiques - probabilités - Cours Première S

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Coefficients binomiaux


Somme des coefficients binomiaux

Le nombre total d'issues d'une expérience alétoire basée sur "n" répétitions d'une expérience à deux issues est de 2n, donc ce nombre correspond aussi à la somme de tous les coefficients binomiaux d'une loi binomiale: 

coefficient-binomial n 0 + coefficient-binomial n 1coefficient-binomial n 2  .... + coefficient-binomial n n

sigma somme de k=0 à k=n coefficient binomial  = 2n   


Coefficients binomiaux extrêmes

L'arbre pondéré ne possède qu'un seul chemin comportant uniquement des succès et un seul ne comportant que des echecs donc:

Quel que soit le nombre "n" de répétition: coefficient-binomial n 0 = 1 et coefficient-binomial n n = 1


Symétrie des coefficients binomiaux

L'arbre pondéré présente une certaine symétrie, le nombre de chemin comportant un nombre "k" de succès est aussi le nombre de chemin comportant un nombre "k" d'échec (ce qui est équivalent à un nombre "n-k" de succès) par conséquent on à l'égalité suivante:

coefficient binomial = coefficient binomial n n-k


Le triangle de Pascal

On consière une loi binomiale comportant "n+1" répétitions. Si l'on compare le stade de répétition n°"n" et celle du stade n°"n+1", Les chemins du stade "n" pouvant aboutir à "k+1" succès lors de la répétition suivantes sont:
- ceux qui possèdent déjà "k+1" succès et passent par un échec
- ceux qui possède "k" succès et passent par un nouveau succès

On peut donc en déduire qu'en ajoutant le nombre de chemins pour "k" succès à "n" répétitions" au nombre de chemein pour "k+1" succès à "n" répétition on obtient le nombre de chemins possible pour "k+1" succès à "n+1" répétition, ce qui peut se traduire par une égalité entre coefficients binomiaux:

coefficient binomialcoefficient binomial n k+1  = coefficient binomial n+1 k+1


Cette égalité permet de justifier la construction du triangle de Pascal qui est utilisé pour établir les différents coefficients binomiaux.

Première étape: les colonnes coincident avec le le nombre de succès (k) et les lignes avec le nombre de répétitions (n). On élimine la première (k = 0 et n = 0  n'a pas de sens) ainsi que la moitiée située au dessus de la diagonale car le nombre de succès ne peut dépasser le nombre de répétitions.

construction du triangle de Pascal étape 1


Deuxième étape:  On peut compléter les valeurs extrêmes (k = 0 et k =n) qui correspondent toutes à un seul chemin.

construction du triangle de Pascal étape 2


Troisième étape: les autres cases peuvent être remplies de proche en proche en utilisant l'égalité coefficient binomial  + coefficient binomial n k+1  = coefficient binomial n+1 k+1
Ainsi:     coefficient binomial 2 1 = coefficient binomial 1 1 + coefficient binomial 1 0
                   = 1  +  1
                   = 2

              coefficient binomial 3 1coefficient binomial 2 1coefficient binomial 2 0
                   =  2  +  1
                   =  3

              coefficient binomial 3 2coefficient binomial 2 2coefficient binomial 2 1
                   =  1  + 2
                   = 3
 
etc

  construction du triangle de Pascal étape 3

 

Triangle de Pascal complet jusqu'à 6 répétitions

triangle de Pascal complet
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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