Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Comportement à l'infini de la suite (qn)


Le comportement à l'inifini d'une suite géométrique de forme un = qn dépend de la valeur sa raison, le nombre réel "q", selon cette dernière la suite pourra être convergente ou divergente.

Suite géométrique avec q > 1

Si la raison est supérieure à "1" on peut démontrer que la suite géométrique diverge vers plus l'infini mais pour cela on a besoin de l'inégalité de Bernoulli:

Pour tout nombre réel "a" positif et tout entier positif:   (1 + a)n supérieur ou égal  1 + n.a


Si q > 1 alors il peut s'écrire sous la forme q = 1 + a où "a" est un réel positif donc, d'après l'inégalité de bernoulli:

qn =  (1 + a)n supérieur ou égal  1 + n.a


or la suite 1 + n.a diverge vers plus l'infini, puisque qn  lui est supérieur cette suite géométrique diverge aussi vers l'infini

Pour tout q > 1  limite lorsque n tend vers plus l'inifini (qn) =  plus l'infini 


Suite géométrique avec q = 1

Dans ce cas la suite géométrique est constante et égale à "1" donc

Pour q = 1  limite lorsque n tend vers plus l'inifini (qn) =  1



Suite géométrique avec -1 < q < 1

Puisque -1 < q  < 1 alors  |q|<1  et    1    >  1
                                                          |q|
Puisque le terme  1   est supérieur à 1 alors une suite géométrique de raison (  1  )n  =    1       a pour limite plus l'infini.     
                            |q|                                                                                             |q|         |q|n
Son inverse (à savoir |q|n tend donc vers 0 de même que qn.

Pour tout réel q tel que -1 < q < 1  limite lorsque n tend vers plus l'inifini (qn) =  0

Suite géométrique avec q = 1

Dans ce cas les valeurs prises par la suite géométrique sont alternativement "1" lorsque "n" est pair et "-1" lorsque "n" est impair, la suite diverge sans avoir de limite infinie.

Pour q = -1  la suite géométrique qn diverge sans avoir de limite


Suite géométrique avec  q < -1

Si la raison "q" est inférieur à -1 ses termes sont égaux à |q|n pour les valeurs paires de "n" et à -|q|n pour les valeurs impaires de "n". Or |q|n tend vers plus l'infini et -|q|n tend vers moins l'infini  ce qui signifie que qn n'est pas bornée, c'est donc une suite divergente. Par ailleurs, puisqu'elle alterne les valeurs positives et négatives, elle n'a pas de limite.

  Pour q < -1  la suite géométrique qn diverge sans avoir de limite
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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