Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Limite finie ou infinie d'une suite

Suites convergentes

Définition

Une suite (un) est convergente vers un réel "l" si, quel que soit l'intervalle ouvert incluant ce réel il existe un entier "n" à partir duquel tous les termes de la suite sont compris dans cet intervalle.

On dit alors que la suite (un) admet comme limite finie "l" et on note limite lorsque n tend vers plus l'inifini un = l

En pratique, pour démontrer qu'une suite converge vers une limite "l" on choisit le plus souvent un intervalle centré sur "l", de la forme ] l - a ; l + a [ (où "a" est un réel positif) puis l'on motre que quel que soit la valeur de il existe un rang "n" à partir du quel  l-a <un < l+a.

Exemple

Si un =  1  on peut démontrer qu'elle est convergente et tend vers 0 
             n
On doit démonter qu'il existe un rang "n"  à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] -a ; a[ quel que soit "a".

Pour tout réel "a", si n >  1  alors  1 <  a  et puisque "n" est un entier positif   1 > 0 ce qui implique  1 > -a
                                         a            n                                                                    n                                 n
Donc pour tout réel "a" il suffit que le rang "n" soit supérieur à l'inverse de a pour que  -a < un < a

Propriété

Si une suite est convergente alors elle n'admet qu'un seul réel comme limite

Certaines suites semblent accumuler leurs valeurs autour de différents réels, par exemple si Un = (-1)n.2 + 1/n, le terme 1/n tend vers 0 tandis que le terme (-1)n.2 prend alternativement la valeur "2" lorsque "n" est pair puis "-2" lorsque "n" est impair, cette suite n'est donc pas convergente.

Suites divergentes

Toute suite qui n'est pas convergente est divergente.

Il existe plusieurs sortes de suites divergentes:
- celles qui ne se stabilisent autour d'aucune valeur cars elles suivent des variations périodiques ( par exemple les suites qui incluent un cosinus ou un sinus)
- celles qui croissent sans limite
- celles qui décroissent sans limite

Suites divergentes dont la limite est infinie

Définitions

Une suite (un) diverge vers plus l'infini si pour tout réel "a" il existe un rang "n" à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] a ; plus l'infini [.

On dit alors que la suite  (un) admet comme limite plus l'infini et on note limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini

Une suite (un) diverge vers moins l'infini si pour tout réel "a" il existe un rang "n" à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] moins l'infini ; a [.

On dit alors que la suite  (un) admet comme limite moins l'infini et on note limite lorsque n tend vers plus l'inifini un moins l'infini
 
Limite des suites usuelles

Il est nécessaire de connaître le comportement à l'infini de certaines suites simple, il sera possible d'en déduire la limite de suites qui s'expriment à partir de ces dernières.

Les suites convergente de limite "0":

un  1    ;  un  1    ; un  1   ;  un  1        
       racine carrée de n              n              n2             n3                       

et plus généralement  un  1    avec k entier naturel                
                                             nk    
Les suites divergentes de limite plus l'infini:

un = racine carrée de n ;  un = n2 ; un =n3

et plus généralement un = nk avec k entier naturel

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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