Analyse - Cours Terminale S

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Limites et comparaisons

Comparaison de suites convergentes

Si à partir d'un certain rang une suite un reste inférieure à une suite vn et que ces deux suites sont convergentes avec limite lorsque n tend vers plus l'inifini un = l1 et limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn = l2 alors la limite de la suite un est inférieure à celle de suite vn : l1 < l2

Remarque: si les suites sont inférieures ou égales leur limite sont aussi inférieures ou égales.

Théorème des gendarmes

Si trois suites un, vn et wn sont telles qu'à partir d'un certain rang vn soit encadrée par un et wn ( c'est à dire un inférieur ou égal vn inférieur ou égal wn ) et si un et wn sont convergentes avec la même limite "l" ( limite lorsque n tend vers plus l'inifini un = limite lorsque n tend vers plus l'inifini wn = l ) alors la suite vn est aussi convergente et sa limite est la même que celle de un et vn :  ( limite lorsque n tend vers plus l'inifini un = limite lorsque n tend vers plus l'inifini v = limite lorsque n tend vers plus l'inifini wn = l )

Exemple

Soit trois suites:
un = -1      
        n2  
vn = cos (n)  
         n2
wn =  1  
          n2  
Puisque  1 inférieur ou égal cos(n) inférieur ou égal 1 alors pour tout n:   1   inférieur ou égal   cos(n)   inférieur ou égal   1    
                                                                    n2        n2             n2                      
donc un inférieur ou égal vn inférieur ou égal wn

or limite lorsque n tend vers plus l'inifini  1   = 0 et  limite lorsque n tend vers plus l'inifini  - 1  = 0
            n2                       n2
La suite un  est donc convergente et admet la même limite que  un et  wn :   limite lorsque n tend vers plus l'inifini v = 0

Comparaison de suites qui divergent vers l'infini

Si deux suites un et vn sont telles qu'à partir d'un certain rang  un est inférieure ou égale à vn et que la limite de un est plus l'infini ( limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini) alors la limite de vest aussi plus l'infini: limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini     

En effets si  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini alors alors pour tout réel "a", il existe un rang n0 à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] a ; plus l'infini[ puisque un inférieur ou égal vn on a également a inférieur ou égal un inférieur ou égal vn donc a inférieur ou égal vn ce qui implique que les termes de vn au delà du rang n0 appartiennet aussi à l'intervalle  ] a ; plus l'infini[ . Donc pour tout réel "a" il existe donc aussi un rang à partir duquel tous les termes de la suite vn appartiennent à ] a ; plus l'infini[  ce qui signifie que   limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini

De même si deux suites un et vn sont telles qu'à partir d'un certain rang  un est supérieure ou égale à vn et que la limite de un est moins l'infini ( limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini) alors la limite de vest aussi moinsl'infini: limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini     

 

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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