Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Opération sur les limites


Lorsqu'une suite s'exprime comme une somme, un produit ou un quotient de suites usuelles il est, dans certains cas, possible de prévoir son comportement à l'infini et d'en déduire sa limite.

Somme de suites

Addition de deux suites convergentes

Si un et vn sont deux suites convergentes de limites respectives l et l' alors leur somme, c'est à dire la suite un + vn est aussi convergente et:

 limite lorsque n tend vers plus l'inifini un + vn = l + l'


Addition d'une suite convergente et d'une suite qui diverge vers l'infini

Si un est une suite convergente et vn une suite qui diverge vers l'infini alors leur somme diverge et tend vers l'infini:

Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un + vn = plus l'infini et si Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un + vn moins l'infini


Addition de deux suites qui divergent vers l'infini

Si un et vn sont deux suites divergentes ayant même limite (plus l'infini ou moins l'infini) alors leur somme est aussi divergente et possède la même limite:

Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini et  limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un + vn = plus l'infini

Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un moins l'infini et  limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un + vn moins l'infini


Par contre, si un et vn sont divergentes vers des limites opposée (l'une tend vers plus l'infini et l'autre vers moins l'infini) alors on aboutit à une forme dite "indéterminée", c'est à dire qu'il n'existe pas de règle générale on aussi bien avoir une somme convergente qu'une somme qui diverge vers plus l'infini ou moins l'infini.

Produit de suites

Multiplication de deux suites convergentes

Si un et vn sont deux suites convergentes de limites respectives l et l' alors leur produit, c'est à dire la suite un . vn est aussi convergente et:

 limite lorsque n tend vers plus l'inifini un . vn = l . l'


Multiplication d'une suite convergente par une suite qui diverge vers l'infini

Si un est une suite convergente de limite l et vn une suite qui diverge vers l'infini alors leur produit diverge et tend vers l'infini sauf si la limite "l" est nulle:


Pour l > 0 Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un . vn = plus l'infini et si Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un . vn moins l'infini

Pour l < 0 Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un . vn moins l'infini et si Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un . vn plus l'infini

Pour l = 0 on obtient une forme indéterminée


Multiplication de deux suites qui divergent vers l'infini

Si un et vn sont sont deux suites divergentes ayant même limite (plus l'infini ou moins l'infini) alors leur produit est aussi divergent et tend vers plus l'infini:

Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini et  limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un . vn = plus l'infini

Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un moins l'infini et  limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un . vn plus l'infini


Cependant, si un et vn sont divergent vers des limites opposée (l'une tend vers plus l'infini et l'autre vers moins l'infini) alors on obtient à nouveau une forme indéterminée.

Quotient de suites

Division de suites convergentes

Si un et vn sont sont deux suites convergentes de limites respective l et l' non nulles alors leur quotient, c'est à dire la suite un / vn  est aussi convergente (à condition que l' ne soit pas nul) et:

 limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn = l / l'


Si la limite l' est nulle et l non nulle alors le quotient tend vers l'infini avec un signe qui dépend du signe de "l" et de la suite vn:

Si vn > 0 et l' > 0 alors limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn = plus l'infini

Si vn < 0 et l' < 0 alors limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn = plus l'infini

Si vn > 0 et l' < 0 alors limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn = moins l'infini

Si vn < 0 et l' > 0 alors limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn = moins l'infini


Si l et l' sont nulles alors on obtient une forme indéterminée.

Divison impliquant une suite convergente et une suite qui diverge vers l'infini

Si un est une suite convergente et vn une suite qui diverge vers l'infini ( plus l'infini ou moins l'infini) alors leur quotient (un / vn) converge et admet "0" comme limite :

 Si  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un =l  et  limite lorsque n tend vers plus l'inifini vn plus l'infini ou moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn = 0 

Si au contraire  vn est une suite convergente (de limite l') et un une suite qui diverge vers l'infini ( plus l'infini ou moins l'infini) alors leur quotient (un / vn) diverge vers l'infini :

Pour l' > 0 Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un/ vn = plus l'infini et si Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn moins l'infini

Pour l' < 0 Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn moins l'infini et si Si limite lorsque n tend vers plus l'inifini un moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un / vn plus l'infini

Pour l' = 0 si vn > 0 et limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un/ vn = plus l'infini

Pour l' = 0 si vn > 0 et limite lorsque n tend vers plus l'inifini un moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un/ vn moins l'infini

Pour l' = 0 si vn < 0 et limite lorsque n tend vers plus l'inifini un plus l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un/ vn moins l'infini

Pour l' = 0 si vn < 0 et limite lorsque n tend vers plus l'inifini un moins l'infini alors  limite lorsque n tend vers plus l'inifini un/ vn plus l'infini

Division impliquant deux suites qui divergent vers l'infini

Si un et vn sont sont deux suites divergentes vers plus l'infini ou moins l'infini alors leur quotient est une forme indéterminée

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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