Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou de la composée de deux fonctions


Si une fonction peut être exprimée à partir de deux autres fonctions f(x) et g(x) alors sa limite peut dans de nombreux cas être déduite de celles de f(x) et g(x). Les limites étudiée ici peuvent aussi bien concerné un réel que plus l'infini ou moins l'infini

Somme de deux fonctions

Addition de deux fonctions de limites finies

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites respectives l et l' alors leur somme, c'est à dire la suite f(x) + g(x) admet aussi une limite finie:

 lim f(x) + g(x)  = l + l'


Addition d'une fonction de limite finie et d'une fonction de limite infinie

Si f(x) est une fonction de limite finie et g(x) une fonction de limite infini alors leur somme tend vers l'infini:

Si lim g(x) = plus l'infini alors  lim f(x) + g(x) = plus l'infini  et si Si lim g(x) = moins l'infini alors  lim f(x) + g(x) = moins l'infini


Addition de deux fonctions de limites  infinies

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites infinies identiques (plus l'infini ou moins l'infini) alors leur somme possède aussi une limite infinie:

Si lim f(x) = plus l'infini et  lim g(x) = plus l'infini alors  lim f(x) + g(x) = plus l'infini

Si lim f(x) = moins l'infini et  lim g(x) = moins l'infini alors  lim f(x) + g(x)  = moins l'infini


Par contre, si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites infinies différentes (l'une tend vers plus l'infini et l'autre vers moins l'infini) alors on aboutit à une forme dite "indéterminée", c'est à dire qu'il n'existe pas de règle générale on aussi bien avoir une limite qui correspond à un réel, à plus l'infini ou moins l'infini.

Produit de deux fonctions

Multiplication de deux fonctions de limite finie

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites respectives l et l' alors leur produit, c'est à dire la suite f(x).g(x) possède aussi une limite finie:

Lim f(x).g(x) = l . l'


Multiplication d'une fonction de limite finie par une fonction de limite infinie

Si f(x) est une fonction de limite finie "l" et g(x) une fonction de limite infini alors leur produit tend vers l'infini sauf si la limite "l" est nulle:


Pour l > 0 Si lim g(x) = plus l'infini alors  lim f(x).g(x) = plus l'infini et si Si lim g(x) = moins l'infini alors  lim f(x).g(x) moins l'infini

Pour l < 0 Si lim g(x) = plus l'infini alors  lim f(x).g(x) moins l'infini et si Si lim g(x) = moins l'infini alors  lim f(x).g(x) plus l'infini

Pour l = 0 on obtient une forme indéterminée


Multiplication de deux fonctions de limites infinies

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites infinies identiques (plus l'infini ou moins l'infini) alors leur produit tend vers plus l'infini:

Si lim f(x) = plus l'infini et  lim g(x) = plus l'infini alors  lim f(x).g(x) = plus l'infini

Si lim f(x) = moins l'infini et  lim g(x) = moins l'infini alors  lim f(x).g(x) = plus l'infini


Cependant si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites infinies différentes (l'une tend vers plus l'infini et l'autre vers moins l'infini) alors on obtient à nouveau une forme indéterminée.

Quotient de deux fonctions

Division de fonctions de limites finies

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites respectives l et l' alors non nulles alors leur quotient, c'est à dire f(x)/g(x) possède aussi une limite réelle finie (à condition que l' ne soit pas nulle) et:

 Lim f(x)/g(x) = l / l'


Si la limite l' est nulle et l non nulle alors le quotient tend vers l'infini avec un signe qui dépend du signe de "l" et de la suite vn:

si l' = 0 et non l nul   lim f(x)/g(x) = plus l'infini ou moins l'infini


Si l et l' sont nulles alors on obtient une forme indéterminée.

Divison impliquant une fonction de limite finie et une fonction de limite infinie

Si f(x) est une fonction de limite finie "l" et g(x) une fonction de limite infini ( plus l'infini ou moins l'infini) alors leur quotient (f(x)/g(x)) tend vers "0"

 Si  lim f(x) = l  et  lim g(x) = plus l'infini ou moins l'infini alors lim f(x)/g(x) = 0 


Si au contraire g(x) est une fonction de limite finie "l" et f(x) une fonction de limite infini ( plus l'infini ou moins l'infini)alors leur quotient f(x)/g(x)) tend vers l'infini:

Pour l' > 0 Si lim f(x) = plus l'infini alors  lim f(x)/g(x) = plus l'infini et si Si lim f(x) = moins l'infini alors  lim f(x)/g(x) = moins l'infini

Pour l' < 0 Si lim f(x) = plus l'infini alors  lim f(x)/g(x) = moins l'infini et si Si lim f(x) = moins l'infini alors  lim f(x)/g(x) = plus l'infini

Pour l' = 0  alors  lim f(x)/g(x) = plus l'infini ou moins l'infini

Division impliquant deux fonctions de limite infinie

Si f(x) et g(x) sont deux fonctions de limites infinies ( plus l'infini ou moins l'infini  ) alors leur quotient est une forme indéterminée

Composition de deux fonctions

Définition

Une fonction f(x) est dite composée si elle s'exprime comme la succession de deux fonctions g(x) et h(x): f(x) = g(h(x)).  
En d'autre terme un nombre "x" donne une image y=h(x) par une fonction h qui elle même donne une image g(y) par une fonction g.

Exemple

La fonction f(x) = (2x +1)2 peut être considérée commme la composée de la fonction afine h(x) = 2x + 1 par la fonction carré g(x) = x2.
En effet g(h(x)) = (h(x))2
                           = (2x +1)2

Théorème

Soit f(x) la composée de la fonction h(x) par g(x) telle que f(x) = g(h(x)) alors si h(x) admet une limite "b" en un point a et que g(x) admet une limite "c" au point "b" alors la limite de la fonction f(x) en x0 est b:

si   h(x) = b et limite en b g(x) = c alors limite au point a f(x) = c


a, b, et c peuvent désigner aussi bien un réel que plus l'infini ou moins l'infini

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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