Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Limites et comparaisons

Limites infinies

Soient f(x) et g(x) deux fonctions définies sur un intervalle de la forme [a ; plus l'infini [ alors:

Si la fonction g(x) est inférieure à la fonction f(x) sur cet intervalle et que g(x) tend vers plus l'infini en plus l'infini alors la fonction f(x) tend aussi vers plus l'infini:  

Si  g((x) inférieur ou égal f(x) sur [a ; plus l'infini [et limite en plus l'infini g(x) = plus l'infini alors limite en plus l'infini f(x) = plus l'infini  


Si la fonction g(x) est inférieure à la fonction f(x) sur cet intervalle et que f(x) tend vers moins l'infini en plus l'infini alors la fonction g(x) tend aussi vers moins l'infini:  

Si  g((x) inférieur ou égal f(x) sur [a ; plus l'infini [et limite en plus l'infini f(x) = moins l'infini alors limite en plus l'infini g(x) = moins l'infini  


Ces théorèmes peuvent être adaptés pour les limites en moins l'infini

Soient f(x) et g(x) deux fonctions définies sur un intervalle de la forme ] moins l'infini ; a ] alors:

Si la fonction g(x) est inférieure à la fonction f(x) sur cet intervalle et que g(x) tend vers plus l'infini en moins l'infini alors la fonction f(x) tend aussi vers plus l'infini:  

Si  g((x) inférieur ou égal f(x) sur] moins l'infini ; a ] et limite en moins l'infini g(x) = plus l'infini alors limite en moins l'infini f(x) = plus l'infini  


Si la fonction g(x) est inférieure à la fonction f(x) sur cet intervalle et que f(x) tend vers moins l'infini en moins l'infini alors la fonction g(x) tend aussi vers moins l'infini:  

Si  g((x) inférieur ou égal f(x) sur ] moins l'infini ; a ] et limite en moins l'infini f(x) = moins l'infini alors limite en moins l'infini g(x) = moins l'infini  

Limites finies

Conservartion de l'ordre

S'il est possible de comparer deux fonctions sur un intervalle alors leurs limites sur cet intervalle respectent le même ordre.

Soit f(x) et g(x) deux fonction définies sur un intervalle commun [b ; c ] et "a" un point de cet intervalle. 

Si f(x) inférieur ou égal g(x) sur [b ; c ] alors limite au point a f(x) inférieur ou égal limite au point a g(x)

Si f(x) supérieur ou égal g(x) sur [b ; c ] alors limite au point a f(x) supérieur ou égal limite au point a g(x)


Le théorème des gendarmes

Soit trois fonctions f(x), g(x) et h(x) définies sur un intervalle de la forme [a ; plus l'infini [. Si sur cet intervalle la fonction d(x) est comprise entre les fonctions f(x) et h(x) et que ces dernière tendent vers une limite l en plus l'infini alors limite de g(x) en plus l'infini est aussi l:

Si sur  [a ; plus l'infini [   f(x) inférieur ou égal g(x) inférieur ou égal h(x)  et limite en plus l'infini f(x) = limite en plus l'infini h(x) = l alors limite en plus l'infini g(x) = l


De même en moins l'infini:

Si sur  ] moins l'infini ; a ]  f(x) inférieur ou égal g(x) inférieur ou égal h(x)  et limite en moins l'infini f(x) = limite en moins l'infini h(x) = l alors limite en moins l'infini g(x) = l
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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