Analyse - Cours Terminale S

Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer.
Des liens pour découvrir

Analyse - Cours Terminale S

Analyse - Cours Terminale S

Dérivée de la fonction composée d'une fonction quelconque par une fonction racine carrée ou ou puissance


Dérivée de la fonction composée d'une fonction quelconque par la fonction racine carrée

Soit "u" une fonction définie et positive sur un intervalle "I", la composée de cette fonction par la fonction racine carrée est f(x) = racine carrée de u

Par définition la dérivée de f en un point "a" de l'intervalle "I" est:

f'(a) = Limite lorsque h tend vers zéro  f(a +h) - f(a)
                         h
f'(c) = Limite lorsque h tend vers zéro  racine carrée de u(a +h) - racine carrée de u(a)
                            h       
f'(c) = Limite lorsque h tend vers zéro  racine carrée de u(a +h) - racine carrée de u(a)   x    racine carrée de u(a +h) + racine carrée de u(a)      
                            h                      racine carrée de u(a +h) + racine carrée de u(a)

f'(c) = Limite lorsque h tend vers zéro   u(a +h) + u(a)   x                    1                       
                            h                      racine carrée de u(a +h) + racine carrée de u(a)
or :

Limite lorsque h tend vers zéro   u(a +h) + u(a)   = u'(a)
                   h
Limite lorsque h tend vers zéro                     1                       =                   1                 =           1    
                    racine carrée de u(a +h) + racine carrée de u(a)                     racine carrée de u(a) + racine carrée de u(a)               2racine carrée de u(a)

Donc :

f'(c) =  u'(a)  x   1  
                        2racine carrée de u(a)

Sur un intervalle où une fonction racine carrée de u est dérivable :   (racine carrée de u)' =    u'      
                                                                                                      2racine carrée de u

Dérivée de la fonction composée d'une fonction quelconque par la fonction puissance

Soit "u" une fonction définie sur un intervalle "I", la composée de cette fonction par la fonction puissance n (n entier) est f(x) = un.    

On peut démontrer que la dérivée de la fonction "f" est le produit de puissance "n" par la dérivée de la fonction "u" par la fonction "u" à une puissance "n-1" soit (un)' = n.u'.un-1      

Cette démonstration peut être faite en faisant appel à un raisonnement par récurrence

Initialisation

pour n = 0  on f(x) = u0  
                              = 1
Puisque la dérivée d'une constante est nulle f' est donc nulle

Par ailleurs, pour n = 0 on  n.u'.un-1 = 0.u'.u-1 = 0

Pour n=0 la proposition (un)' = n.u'.un-1 est bien vérifiée

Hérédité

On suppose que que pour le rang "k" la proposition est vérifiée soit  (uk)' = k.u'.uk-1      
                 
Au rang k+1:

(uk+1)'= (uk.u)'

Etant donné que (u.v)' = u'.v + u.v' on obtient

(uk+1)'= (uk)'.u + (uk).u'
          =  k.u'.uk-1.u  +  (uk).u'
          =  k.u'.uk + uk.u'
          =  (k + 1).u'.uk

Ce résultat est bien conforme à la proposition initiale donc cette dernière est confirmée par le raisonnement par récurrence.    

Sur tout intervalle où la fonction "u" est définie et pour tout entier positif: (un)' = n.u'.un-1  

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de cookies pour réaliser des statistiques de visites

Pour en savoir plus et paramétrer les traceurs