Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Dérivée de la fonction composée d'une fonction quelconque par une fonction racine carrée ou ou puissance

Dérivée de la fonction composée d'une fonction quelconque par la fonction racine carrée

Soit "u" une fonction définie et positive sur un intervalle "I", la composée de cette fonction par la fonction racine carrée est f(x) = 

Par définition la dérivée de f en un point "a" de l'intervalle "I" est:

f'(a) =  f(a +h) - f(a)
                         h
f'(c) =  (a +h) - (a)
                            h       
f'(c) =  (a +h) - (a)   x    (a +h) + (a)      
                            h                      (a +h) + (a)

f'(c) =   u(a +h) + u(a)   x                    1                       
                            h                      (a +h) + (a)
or :

-    u(a +h) + u(a)   = u'(a)
                   h
-                      1                       =                   1                 =           1    
                    (a +h) + (a)                     (a) + (a)               2(a)

Donc :

f'(c) =  u'(a)  x   1  
                        2(a)

Sur un intervalle où une fonction est dérivable :   ()' =    u'      
                                                                                                      2

Dérivée de la fonction composée d'une fonction quelconque par la fonction puissance

Soit "u" une fonction définie sur un intervalle "I", la composée de cette fonction par la fonction puissance n (n entier) est f(x) = uⁿ.    

On peut démontrer que la dérivée de la fonction "f" est le produit de puissance "n" par la dérivée de la fonction "u" par la fonction "u" à une puissance "n-1" soit (uⁿ)' = n.u'.u^n-1      

Cette démonstration peut être faite en faisant appel à un raisonnement par récurrence

Initialisation

pour n = 0  on f(x) = u⁰  
                              = 1
Puisque la dérivée d'une constante est nulle f' est donc nulle

Par ailleurs, pour n = 0 on  n.u'.u^n-1 = 0.u'.u^-1 = 0

Pour n=0 la proposition (uⁿ)' = n.u'.u^n-1 est bien vérifiée

Hérédité

On suppose que que pour le rang "k" la proposition est vérifiée soit  (u^k)' = k.u'.u^k-1      
                 
Au rang k+1:

(u^k+1)'= (u^k.u)'

Etant donné que (u.v)' = u'.v + u.v' on obtient

(u^k+1)'= (u^k)'.u + (u^k).u'
          =  k.u'.u^k-1.u  +  (u^k).u'
          =  k.u'.u^k + u^k.u'
          =  (k + 1).u'.u^k

Ce résultat est bien conforme à la proposition initiale donc cette dernière est confirmée par le raisonnement par récurrence.    

Sur tout intervalle où la fonction "u" est définie et pour tout entier positif: (uⁿ)' = n.u'.u^n-1