Analyse - Cours Terminale S

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Fonction cosinus

Définition

La fonction cosinus est la fonction qui a tout réel "x" associe le cosinus de ce nombre: cos(x). Elle est définie sur l'ensemble des réels (intervalle] moins l'infiniplus l'infini[) et elle est également contiue sur cet intervalle.

Parité

C'est une fonction paire puisque cos(-x) = cos(x), ce qui se traduit par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour la représentation graphique.

parité de la fonction cosinus


Périodicité

Puisque cos( x + 2π) = cos(x) on qualifie le cosinus de fonction périodique de période 2π. Sur une représentation graphique cette périodicité implique que la totalité de la courbe peut être obtenue par translations successives de 2πvecteur i ou -2πvecteur i à partir d'une portion de la courbe d'étendue 2π (par exemple [-ππ] ou [0 ; 2π])

Dérivabilité

par définition :

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  f(x + h) - f(x)  
                         h

cos'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  cos(x + h) - cos(x)  
                                  h

cos'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)  
                                              h

or Limite lorsque h tend vers zéro cos(x)cos(h) -cos (x) =cos(x)(cos(h) - 1)
                                            = cos(x).0
                                            = 0
donc:

cos'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  - sin(x)sin(h)   
                             h
or Limite lorsque h tend vers zéro sin(h) = 1
              h

donc:

cos'(x)=Limite lorsque h tend vers zéro  -sin(x).sin(h)   
                                  h
cos'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  -sin(x).1

cos'(x) = -sin (x)

Sur ensemble des réels la fonction sinus est dérivable et cos'(x) = -sin(x)


Variations de la fonction cosinus

Puisque la fonction cosinus présente une périodicité de 2π  il suffit d'étudier ses variations sur l'intrevalle [ 0 ; 2π ]

L'étude des ses variations peut être faite à partir de sa dérivée. Puisque cos'(x) = -sin(x), la fonction sinus étant positive sur [0 ; π] et négative sur [ π ; 2π] on peut en déduire que la fonction cosinus est décroissante sur  [0 ; π] et croissante sur [ π ; 2π]

On obtient donc le tableau de variation suivant

Tableau de variations de la fonction cosinus


Représentation graphique

Puisque la fonction cosinus est paire il suffit de tracer sa représentation sur l'intervale [ 0 ; π ]

Construction de la courbe de la fonction cosinus étape 0


Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées on obtient la représentation sur [-π ; 0] on a donc la représentation sur l'intervalle [ -ππ ] d'étendue 2π

construction de la courbe cosinus étape 2


Pour obtenir le reste de la courbe il suffit de répéter cette portion par translations successives de 2πvecteur i ou -2πvecteur i 

construction de la courbe cosinus étape 3
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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