Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Fonction sinus


Définition

La fonction sinus est la fonction qui à tout réel "x" associe son sinus sin(x). Elle est définie sur l'ensemble des réels (intervalle ] moins l'infiniplus l'infini[) et elle est également contiue sur cet intervalle.

Parité

C'est une fonction impaire puisque pour tout "x" sin(-x) = -sin(x), ce qui se traduit pour sa courbe représentative par une symétrie centrale par rapport à l'origine du repère.

parite de la fonction sinus


Périodicité

Puisque sin( x + 2π) = sin(x) on qualifie le sinus de fonction périodique de période 2π. Sur une représentation graphique cette périodicité implique que la totalité de la courbe peut être obtenue par translations successives de 2πvecteur i ou -2πvecteur i à partir d'une portion de courbe sur un intervalle d'étendue 2π (par exemple [-ππ] ou [0 ; 2π])

Dérivabilité

par définition

f'(x) = Limite lorsque h tend vers zéro  f(x + h) - f(x)  
                         h

(sin(x))' = Limite lorsque h tend vers zéro  sin(x + h) - sin(x)  
                                 h

(sin(x))' = Limite lorsque h tend vers zéro  sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)  
                                               h

or lim sin(x)cos(h) -sin (x) = sin(x)cos(0) - sin(x)
                                         = sin(x).(cos(0) - 1)
                                         = sin(x).(0)
                                         = 0
donc
(sin(x))' = Limite lorsque h tend vers zéro   cos(x)sin(h)   
                               h
or Limite lorsque h tend vers zéro  sin(h) = 1
              h
donc

(sin(x))' = Limite lorsque h tend vers zéro   cos(x).sin(h)   
                                 h
(sin(x))' =Limite lorsque h tend vers zéro  cos(x).1

(sin(x))' = cos(x)

Sur ensemble des réels la fonction sinus est dérivable et sin'(x) = cos(x)


Variations de la fonction sinus

Puisque la fonction sinus présente une périodicité de 2π  il suffit d'étudier ses variations sur l'intervalle [ 0 ; 2π ]

L'étude des ses variations peut être faite à partir de sa dérivée. Puisque sin'(x) = cos(x), la fonction cosinus étant positive sur [0 ; π/2] et [3π/2 ; 2π] et négative sur [ π/2 ; 3π/2] on peut en déduire que la fonction sinus est croissante sur [0 ; π/2] et [3π/2 ; 2π] et décroissante sur [ π/2 ; 3π/2]

On obtient donc le tableau de variation suivant

tableau de variation de la fonction sinus


Représentation graphique

Puisque la fonction sinus est impaire il suffit de tracer sa représentation sur l'intervale [ 0 ; π ]

construction de la courbe de la fonction sinus étape 01


Par symétrie centrale on obtient la représentation sur [-π ; 0] on obtient donc la représentation sur l'intervalle [ -ππ ] d'étendue 2π

construction de la courbe de la fonction sinus étape 01



 pour obtenir le reste de la courbe il suffit de répéter cette portiont par translations successives de 2πvecteur i ou -2πvecteur i 

construction de la courbe de la fonction sinus étape 01
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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