Analyse - Cours Terminale S

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Définitions et propriétés caractéristiques


Il existe une seule et unique fonction f telle f'=f et f'0) = 1

Pour démontrer cette affirmation on considère la fonction "g" telle que g(x) = f(x).f(-x) où f serait une fonction respectant les propriétés  f'=f et f(0) = 1

la dérivée de g est:

g'(x) = [f(x).f(-x)]'
        = f'(x).f(-x) + f(x).(f(-x))'
        = f'(x).f(-x) + f(x).(-f'(-x))
        = f'(x).f(-x) - f(x).f'(-x) 
 
d'après l'une des propriétés de f: f'(x) = f(x) donc

g'(x) = f(x).f(-x) - f(x).f(-x)
         = 0

g est donc une fonction constante et:

g(x) = g(0)
       = f(0).f(-0)
       = f(0).f(0)
       
D'après l'une des propriétés de f: f(0) = 1 donc:

g(x) = 1

f(x).f(-x) = 1

Puisque ce produit n'est jamais nul on peut en déduire que la fonction f ne serait également jamais nulle ce qui nous autorise à définir une fonction k telle que: k(x) = h(x)/f(x) où l'on suppose que h est une fonction qui, comme f, respecte les propriétés h'=h et h(0) = 1

La fonction k est dérivable et:

k(x)' = ( h(x)/f(x))'
        = h'(x).f(x) - h(x).f'(x)
                    f2(x)
D'après les propriétés de f et h on a h'(x) = h(x) et f'(x) = f(x) donc

k(x)' =  h(x).f(x) - h(x).f(x)
                    f2(x)

k(x)' =       0      
              f2(x)
k(x)' = 0
k(x) est donc une fonction constante et k(x) = k (0)
                                                                   = f(0)/h(0)
                                                                   = 1
Pout réel x  on a  h(x)/f(x) = 1
                          soit h(x) = f(x)

Toute fonction qui a les mêmes propriétés que f est rigoureusement égale à f, il ne peut donc y avoir plusieurs fonction différentes respectant ces propriétés.

Il n'existe qu'une seule et unique fonction f telle que f'(x) = f(x) et f(0) = 1


Ces propriétés sont donc suffisantes pour définir une fonction.


Propriétés et notation de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle notée exp(x) est la fonction qui vérifie les propriétés f'(x) = f(x) et f(0) = 1 donc:
 
exp'(x) = exp(x)

exp(0) = 1

On utilise également souvent la notation ex équivalente à exp(x) en raison d'une similitude entre les propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction puissance.

La valeur de e1 que l'on peut simplement noter "e" a pour valeur approximative e = 2,7182818284 mais si l'on souhaite retenir une valeur approchée peut se souvenir que "e" vaut environ 2,718.

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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