Analyse - Cours Terminale S

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Limites et variations


Signe de la fonction exponentielle

Soit "a" un réel quelconque, on peut l'exprimer comme la somme a= a/2 + a/2 donc

exp(a) = exp (a/2 + a/2)
           = exp (2.a/2)
           = (exp(a/2))2

Puisque l'exponentielle de tout nombre réel peut s'exprimer comme le carré d'une exponentielle on peut en déduire que la fonction exponentielle est toujours positive.

La fonction exponentielle est positive sur l'ensemble des réels


Variations de la fonction exponentielle

Puisque la dérivée de la fonction exponentielle correspond à la fonction exponentielle  et que cette dernière est positive sur l'ensemble des réels alors la fonction exponentielle est croissante sur l'ensemble des réels

Limite de la fonction exponentielle en plus l'infini

Pour établir la limite en plus l'infini on peut étudier la fonction f(x) = exp(x) -x
f'(x) = exp(x) - 1         
En 1, f'(1) = exp(1) - 1
                = 2,718 - 1
                 = 1,717
donc f'(1) est positive et comme la fonction exponentielle est croissante on peut en déduire que f'(x) est positive sur l'intervalle [ 1 ; plus l'infini [

Puisque f'(x) est positive sur l'intervalle [ 1 ; plus l'infini [ la fonction "f" est croissante sur cet intervalle

Par ailleurs f(1) = exp(1) - 1
                          = 2,718 - 1
                          = 1,718

Donc f(x) est positive en 1 et sur tout l'intervalle [ 1 ; plus l'infini [:

f(x) > 0

exp(x) -x > 0

exp(x) >  x

Or "x" tend vers plus l'infini en plus l'infini, par comparaison on en déduit donc que:

 limite en plus l'infini exp(x) = plus l'infini


Limite de la fonction exponentielle en moins l'infini

limite en plus l'infini exp(x) = plus l'infini  donc:                     

limite en moins l'infini exp(-x) =plus l'infini

limite en moins l'infini    1   = plus l'infini, l'inverse de la foncion 1/exp (x), c'est à dire la fonction exp(x) a donc pour limite 0
       exp(x)

limite en moins l'infini exp(x) = 0


Tableau de variations

Les variations de la fonctions exponentielle ainsi que ses limites permettent de dresser son taleau de variation

Tableau de variations de la fonction exponentielle


Autre limite: limite en 0 exp(x) - 1
                                    x
                                           
limite en 0 exp(x) - 1limite en 0  exp(0 + x) - exp(0)
            x                           x

Cette expression correspond au taux d'accroissement de la  fonction exponentielle 0,  c'est à dire à la valeur de sa dérivée en 0
limite en 0  exp(0 + x) - exp(0) = exp'(0)
                   x                    
                                     = exp(0)   
                                     = 1

limite en 0 exp(x) - 1 = 1
            x          


Autre limite: limite en plus l'infini  exp(x)    
                                  x
soit f la fonction définie par f(x) = exp(x) -x2    
sa dérivée est f'(x) = exp(x) - 2x
la dérivée de sa dérivée est f'' = exp(x) - 2
En 1, f''(1) = exp(1) - 2
                 = 2,718 - 2
                 = 0,718
Donc f''(1) > 0
Puisque la fonction exponentielle est croissante sur [ 1 ; plus l'infini [, f''(x) est positive sur cet intervalle cequi implique que f'(x) soit croissante sur [ 1 ; plus l'infini [
or f'(1) = exp(1) -2.0
            = 2,718 - 0
             = 2,718
Donc f'(1) > 0
Puisque f'(x) est croissante sur [ 1 ; plus l'infini [ elle est donc positive sur la totalité de cet intervalle, ce qui implique que f(x) soit croissante sur [ 1 ; plus l'infini[
Or f(1) = exp(1) - 12  
            = 2,718 - 1  
             = 1,718

Puisque f(1) est positive et que f(x) est croissante sur [ 1 ; plus l'infini [ alors elle est positive sur cet intervalle:

f(x) > 0
exp(x) -x2 > 0
exp(x) > x2      

Puisque x > 0, on peut diviser chaque membre par "x" sans modifier le sens de l'inégalité

exp(x) > x  
   x

Puisque limite en plus l'infini x  = plus l'infini on peut donc en déduire que exp(x) possède la même limite
                                                                                      x

limite en plus l'infini    exp (x) = plus l'infini
               x             



Autre limite: lim x.exp(x)

D'après ce qui précède

limite en plus l'infini    exp (x) plus l'infini donc :
            x     

limite en moins l'infini      exp(-x) = plus l'infini
                -x

limite en moins l'infini           1         = plus l'infini
            -x.exp(x)

L'inverse de cette même fonction (à savoir la fonction -x.exp(x) possède donc en moins l'infini une limite de 0:

limite en moins l'infini  -x.exp(x) = 0 et l'opposée de cette fonction possède également une limite de 0:
 

limite en moins l'infini  x.exp(x) = 0 
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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