Analyse - Cours Terminale S

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Relation fonctionnelle et propriétés algébriques


Relation fonctionnelle

soient deux réels "a" et "b" strictement positifs tels que a = exp(a') et b= exp(b') ce qui impliqe que a' = ln(a) et b' = ln(b)

Ln (a.b) = ln (exp(a').exp(b'))
               = ln ( exp(a'+b'))
               = a' + b'
                = ln(a) + ln(b)

Relation fonctionnelle pour tous réels strictement positif a et b:

 ln (a.b) = ln(a) + ln(b)


Le logarithme du produit de deux nombres est donc égal à la somme du logarithme de chaque nombre

Autres relations

Soit a un réel strictement positif, il peut s'écrire sous la forme:

a = exp (ln(a))

Par conséquent pour tout entier n:

an = exp(ln(a))n  
     
an = exp(n.ln(a))

ln (an)  = ln ( exp(n.ln(a)) )

ln (an)  = n.ln(a)

Pour tout réel strictement positif "a" et tout enier n:

 ln (an)  = n.ln(a)


Le logarithme néperien d'un nombre élevé à la puissance "n" correspond donc au produit de cette puissante "n" par le logarihtme népérien du nombre.

Soit "a" un réel strictement positif :

 a . 1  = 1
      a
ln (a . 1 ) = ln (1)
         a
ln (a) + ln(  1  ) = 0
                   a
ln(  1  ) = - ln (a)
      a

Pour tout réel strictement positif:

  ln(  1  ) = - ln (a)
                    a                            


Le logarithme néperien de l'inverse d'un nombre correspond donc à l'opposé du logarithme néperien  de ce nombre

Pour tous réels a et b strictement positifs:

ln( a ) = ln(a . 1  )
     b                b
          = ln(a) + ln( 1  )
                              b
         = ln(a) - ln(b)

pour tous réels a et b strictement positifs:

  ln( a ) = ln(a) - ln(b)

                                                                                    b  

Le logarithme néperien du rapport de deux nombres correspond donc à la différence des logarithmes de chacun de ces nombres.

Pour tout réel "a" strictement positif:

ln (a) = ln (racine carré a2)
         = 2 ln(racine carré a)

donc ln(racine carré a) = 1 ln(a)
                       2

Pour tout réel strictement positif:

ln(racine carré a) = 1 ln(a)

                                                                                                2

Le logarithme népérien de la racine carrée d'un nombre correspond donc à la moitié du logaritme néperien de ce nombre.

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