Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

Analyse - Cours Terminale S

Déterminer une aire en utilisant le calcul intégrale


Domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe d'une fonction de signe constant

Le domaine dont on souhaite déterminer l'aire est compris en entre, l'axe des abscisses et la courbe d'une fonction "f" continue et positive représentée sur un intervalle [a ; b]: l'aire "A" correspond à l'intégrale de la fonction "f" de "a" à "b":

A = intégrale de a à bf(x)dx = F(b) - F(a)   


Dans le cas où la fonction "f" est négative alors son intégrale donne une valeur négative et l'aire correspond à l'opposée de cette intégra:

 A = - intégrale de a à bf(x)dx = F(a) - F(b) 


Domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe d'une fonction de signe variable

Si la fonction "f", qui délimite sur un intervalle [a ; b] un domaine par rapport l'axe des abscisse, change de signe une ou plusieurs fois alors il est nécessaire de compter chaque portion de domaine de manière "positife", pour cela l'intégrale utilisée sera celle de la valeur absolue de la fonction "f":

A = intégrale de a à b|f(x)|dx


En pratique il est nécessaire d'étudier les variations de de la fonction "f" sur l'intervalle [a ; b] afin de déterminer les portions de cet intervalle où elle est positives et celles où elle est négative. En vertue de la relation de Chasles des intégrales, intégrale de a à b|f(x)|dx peut être décomposée en une sommes d'intégrales ayant un signe constant positif (dans ces cas |f(x)| = f(x)) ou négatif ( dans ce cas |f(x)| =- f(x)).

Par exemple si l'on détermine que que "f" est négative sur [a ; c], positive sur [c ; d] puis à nouveau négative sur [d ; b] alors on peut décomposer l'intégrale:

intégrale de a à b|f(x)|dx  =  intégrale de a à c|f(x)|dx  +   intégrale de c à d|f(x)| +   intégrale de d à a|f(x)|


                  =  
intégrale de a à cf(x)dx  +   intégrale de c à df(x)  -   intégrale de d à af(x)

Domaine délimité par deux courbes

Si un domaine est délimité sur un intervalle [a ; b] par les courbes de deux fonctions "f" et "g" continues telles que sur [a ; b] g(x) inférieur ou égal f(x) alors alors l'aire "A" de ce domaine correspond à l'intégrale de la différence des deux fonctions:

A = intégrale de a à b( f(x) - g(x) )dx = F(a) + G(a) - F(b) - G(b)


Si l'une des fonctions n'est supérieure à l'autre sur l'intervalle [a ; b]  on doit alors calculer l'intégrale de la valeur absolue de la différence des fonction:

A = intégrale de a à b(|f(x) - g(x)|)dx


En pratique on procède d'une manière proche de la méthode utilisée pour le calcul de l'aire d'un domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe d'une fonction de signe variable: on étudie les variations de la fonction f(x) - g(x) afin de déterminer les intervalles où elles positives ou négative puis l'intégrale est décomposée selon la relatin de Chasles en une somme d'intégrales dont les borne correspondent à des intervalle où elle est monotone. 

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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