Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Déterminer une primitive


Par définition une fonction F(x) est primitive d'une fonction f(x) si F'(x) = f(x) on peut donc établir une primitive d'une fonction "f" d'une part en se référant à une liste de primitives concernant les fonctions de références et d'autre part en utilisant les opérations et compositions de fonctions.

Primitives des fonctions de référence

Pour g(x)=a avec "a" un réel alors g'(x) = 0 on en déduit donc:

Si  f(x) = 0 alors F(x) = a  (a réel) - Domaine de définition : Ensemble des réels


Pour g(x)=x alors g'(x) = 1 on en déduit donc:

Si  f(x) = 1 alors F(x) = x - Domaine de définition : Ensemble des réels


Pour g(x)=x2 alors g'(x) = 2x  on en déduit donc:

Si  f(x) = x alors F(x) = 0,5.x2 - Domaine de définition : Ensemble des réels


Pour g(x)=xn alors g'(x) = nxn-1  on en déduit donc:

Si  f(x) = xn alors F(x) =  1    .xn+1 - Domaine de définition : Ensemble des réels si n est positif et ]Moins l'infini ; 0[ U ]0 ; Plus l'infini[. si n est négatif
 n+1                                                                                                          


Pour g(x)=  1  alors g'(x) =  -1  on en déduit donc:
                   x                       x2     

Si  f(x) =   1   alors F(x) =  -1     - Domaine de définition :   ]Moins l'infini ; 0[ U ]0 ; Plus l'infini[.
               x2                        x                                                                                  


Pour g(x)= racine carrée de x alors g'(x) =   1   on en déduit donc:
                                           2racine carrée de x

Si  f(x) =    1   alors F(x) = 2racine carrée de x  - Domaine de définition :  ]0 ; Plus l'infini[.
  racine carrée de x                                                                           


Pour g(x)= cos(x) alors g'(x) = -sin(x)  on en déduit donc:

Si  f(x) = sin(x) alors F(x) = - cos(x) - Domaine de définition : Ensemble des réels


Pour g(x)= sin(x) alors g'(x) = cos(x)  on en déduit donc:

Si  f(x) = cos(x) alors F(x) = - sin(x) - Domaine de définition : Ensemble des réels


Pour g(x)= exp(x) alors g'(x) = exp(x)  on en déduit donc:

Si  f(x) = exp(x) alors F(x) = exp(x) - Domaine de définition : Ensemble des réels


Pour g(x)= ln(x) alors g'(x) =  1   on en déduit donc:
                                               x

Si  f(x) = 1   alors F(x) = ln(x) - Domaine de définition : ]0 ; Plus l'infini[.
 x                                                                            


Opérations et compositions

Le produit d'un réel "a" par une fonction "g" possède comme primitive le produit de ce réel par la primitive de la fonction:

Si f = k.g alors F = k.G


La somme d'une fonction g et d'une fonction h a comme primitive la somme des primitives de chacune des fonctions:

si f = g + h alors F = G + H


La dérivée d'une fonction "g" élevée au carrée correspond à 2 fois le produit de cette fonction par sa dérivée:

Si f = g'.g alors F = 0,5.g2  

 
La dérivée d'une fonction "g" élevée à la puissance "n" est le produit de l'entier "n" par la dérivée de "g" par la fonction "g" à la puissance "n-1":

Si f = g'.gn alros F =    1   .  gn+1  
                     (n+1)


La dérivée de l'inverse d'une fonction "g" correspond à l'opposé du rapport de la dérivée de "g" par le carrée de g:

Si f =   g'   alors F = -  1     
       g2                     g


La dérivée de la racine carrée d'une fonction g correspond à la moitié du rapport de la dérivée de "g" par la racine carrée de g:

Si  f =  g'  alors F =2. 1       
     racine carré de g                   racine carré de g

La dérivée de l'exponentielle d'une fonction "g" correspond au produit de la dérivée de cette fonction par l'exponentielle de cette même fonction:

Si f= g'.exp(g) alors F = exp(g)


La dérivée du logarithme népérien d'une fonction "g" correspond au rapport de la dérivée de cette fonction par cette même fonction:

Si f =  g' alors F = ln(g)     
          g                               
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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