Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque


Définition

La définition d'une intégrale peut être étendue aux fonctions continues dont le signe est quelconque (et pas seulement positif). Aini si "f" est une fonction continue sur un intervalle "I" et que les nombres "a" et "b" appartiennent à cet intervalle alors l'intégrale de la fonction "f" de "a" à "b" est notée intégrale de a à bf(x)dx  et cette inégrale correspond à différence entre l'intégrale de "f" en "b" et en "a":

intégrale de a à bf(x)dx = F(b) - F(a)


Le résultat d'une telle intégrale peut être positif (si la surface supérieure délimitée par la courbe au dessus de l'axe des abscisses est supérieure à celle délimitée par la courbe en dessous de l'axe des abscisses) mais il peut aussi être négatif dans le cas contraire.

Intégrale nulle

Une intégrale est nulle:
- si ses deux bornes sont identiques intégrale de a à af(x)dx = 0 en effet intégrale de a à af(x)dx = F(a) - F(a) = 0
- si la courbe représentative de la fonction f délimite des surfaces égales de part et d'autre de l'axe des abscisses.(dans ce cas la "partie" positive de l'intégrale compense sa partie "négative"
- si "f" est la fonction nulle.

Inversion des bornes

Deux intégrales d'une même fonction dont les bornes sont inversées ont des valeurs opposées:

intégrale de a à bf(x)dx = - intégrale de b à af(x)dx

En effet  intégrale de a à bf(x)dx = F(b) - F(a) tandis que intégrale de b à af(x)dx = F(a) - F(b)  et  F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Linéarité

L'intégrale du produit d'un réel par une fonction est égale au produt du réel par l'intégrale de cette fonction:

Si "c" est un réel alors intégrale de a à bc.f(x)dx = c.intégrale de a à bf(x)dx


En effet intégrale de a à bc.f(x)dx = c.F(b) - c.F(a)
                             = c.( F(b) - F(a) )
                             = c.intégrale de a à bf(x)dx

Relation de Chasles

Soient "a", "b" et "c" trois réels quelconques et "f" une fonction inégrale

intégrale de a à bf(x)dx  +  intégrale de b à cf(x)dx = intégrale de a à cf(x)dx


En effet:

intégrale de a à bf(x)dx = F(b) - F(a) et intégrale de b à cf(x)dx = F(c) - F(b)

Donc intégrale de a à bf(x)dx  +  intégrale de b à cf(x)dx = F(b) - F(a) + F(c) - F(b)
                                        =  F(c) - F(a)
                                        = intégrale de a à cf(x)dx
Positivité

Si une fonction "f" est continue et positive sur un intervalle [a ; b] alors intégrale de a à bf(x)dx > 0

Comparaison

Si "f" et "g" sont deux fonction continues sur un intervalle [a ; b] telles que pour tout "x" de cet intervalle f(x) inférieur ou égal g(x) alors: intégrale de a à bf(x)dx inférieur ou égal intégrale de a à bg(x)dx

Moyenne                               

Si une fonction "f" est continue sur un intervalle [ a ; b ] alors la moyenne "m" de cette fonction sur cet intervalle est définie par:

m  =     1     . intégrale de a à bf(x)dx
        (b - a)            

 

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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