Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Conjugué d'un nombre complexe

Défnition

Tout nombre complexe z admet un conjugué noté conjugué (que l'on peut lire z barre) qui possède la même partie réelle mais une partie imaginaire opposée:

Si z = a + ib alors conjugué = a - ib



Distinguer les réels et les imaginaires purs

Si z est un réel pur alors z = a et puisque que sa partie imaginaire est nulle elle l'est aussi pour son congué donc conjugué = a: un reél pur est égal à son conjugué.

Si z est un réel pur alors z =
-  dL



 


Si z est un imaginaire pur alors z = ib, son conjuguée possède la même partie réelle (nulle) et une partie imaginaire opposée (-ib) donc conjugué= -ib: Un imaginaire est égal à l'opposée de son conjugué.

Si z est un un imaginaire pur alors z = -conjugué


Ces critères peuvent être utilisés pour démontrer qu'un nombre est soit un réel pur soit un imaginaire pur.

Addition d'un nombre complexe et de son conjugué

Soit z un nombre conjugué (z = a + ib) et conjugué son conjugué (conjugué = a - ib)

z + conjugué  = a + ib + a - ib
          = a + a +ib - ib
          = 2a

z + conjugué = 2Re(z)


La somme d'un nombre complexe et de son conjugué correspond au double de sa partie réelle.

Produit d'un nombre complexe par son conjugué

Soit z un nombre conjugué (z = a + ib) et conjugué son conjugué (conjugué = a - ib)

z . conjugué  = (a + ib)(a - ib)
        = a2 - (ib)2 (d'après l'identité remarquable
        = a2 - (-b2)
        = a2 + b2  

z . conjugué  =  a2 + b2  


Le produit d'un nombre complexe par son conjuguée correspond à somme du carré de sa partie réelle et du carré de sa partie imaginaire.

Autres propiétés algébriques des conjugués

Si k est un réel, n un entier, z et z' deux nombres complexes alors :

conjugue de k fois z = k.conjugué

conjugue de z plus z prime= conjugué + conjugué'

conjugue de z fois z prime = conjugué. conjugué'

conjugué de z sur z prime = Conjugué de z sur conjugué de z prime

conjugué de z exposant n = (conjugué)n

                                                                           


Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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