Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Forme trigonométrique


Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe z = a + ib est noté |z| (comme une valeur absolue) ou "r" et il est défini par la relation |z| = racine carrée de a carré plus b carré

Si le nombre complexe "z" est utilisé comme affixe du point M et du vecteur vecteur OM (a ; b) alors le module de z correspond aussi à la norme du vecteur vecteur OM.

Module et norme du vecteur image 


Un nombre complexe a même module que son conjugué, que son opposé ainsi que l'opposé de son conjugué:

|z| = |conjugué| |-z| = |-conjugué|


Dans certains cas il est possible d'exprimer le module d'un nombre complexe, en particulier, si "z" et "z'" sont deux nombres complexes et "n" un entier alors:

|z.z'|=  |z| .  |z'|

 
Le module d'un produit de deux nombres complexes correspond au produit du module de chacun de ces nombres

module du rapport de deux nombres complexes  = rapport des modules de deux nombres complexes


Le module du rapport de deux nombres complexes correspond aux rapport des modules de ces nombres

|zn| = |z|n    


Le module d'une puissance "n" d'un nombre complexe correspond à la puissance "n" de son module

Cependant attention   |z + z'| différent de |z| + |z'|, le module de la somme de deux nombres complexe n'est pas équivalent à la somme des modules de chacun de ces nombre. On peut seulement écrire une inégalité dite triangulaire:

|z + z'| inférieur ou égal |z| + |z'|


Argument d'un nombre complexe

L'argument d'un nombre complexe est noté arg(z) ou θ (lettre grecque thêta), il s'exprime en radian et correspond à l'angle entre le vecteur vecteur OM d'affixe "z" et l'axe des abscisses

argument d'un nombre complexe


Par conséquent:

- Tous les nombres réels situés sur l'axe des abscisses ont un argument nul (θ = 0  (2π))
- Tous les imaginaires purs situés sur l'axe des ordonnées ont un argument de pi sur 2 (θ = π/2   (2π))
- Le conjugué d'un nombre complexe qui lui est symétrique par rapport l'axe des abscisse possède un argument opposé: arg(conjugué) = - arg(z) (2π)

La projection du vecteur vecteur OM sur l'axe des abscisse correspond à "a" tandis que la projection de vecteur OM sur l'axe des ordonnées correspond à "b" (voir figure précédente) donc:

|vecteur OM|.cos (θ) = a et |vecteur OM|.sin (θ) = b soit racine carrée de a carré plus b carré.cos (θ) = a et racine carrée de a carré plus b carré.sin (θ) = b donc:

cos (θ) =      a                
                racine carrée de a carré plus b carré
sin (θ) =       b          
               racine carrée de a carré plus b carré

On peut donc déduire cos (θ), sin (θ)  et donc θ à partir de la forme algébrique d'un nombre complexe

Notation trigonométrique d'un nombre complexe

Tout nombre complexe z = a + ib peut sécrire sous une forme trigonométrique:

z = r ( cos(θ) + isin(θ) )  ou encore |z|.(cos (arg(z)) + isin(arg(z)) )


On peut vérifier que cette notation trigonométrique est équivalente à la totation algébrique:

z = r ( cos(θ) + isin(θ) )

   = racine carrée de a carré plus b carré . (     a        +      ib       )     
                      racine carrée de a carré plus b carré        racine carrée de a carré plus b carré

  =      a.racine carrée de a carré plus b carré        +      ib.racine carrée de a carré plus b carré        
              racine carrée de a carré plus b carré                    racine carrée de a carré plus b carré

  = a + ib 

Il est possible de passer de la notation algébrique à la notation trigonométrique grâce aux relations suivantes:

r = racine carrée de a carré plus b carré

cos (θ) =      a                
       racine carrée de a carré plus b carré
sin (θ) =       b          
          racine carrée de a carré plus b carré


Inversement, on peut aussi passer d'une notation trigonométrique à une notation algébrique à partir de ces relations:

a = r.cos (θ)

b = r.sin (θ)

 

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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