Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Définitions et propriétés élementaires


Définition

L'ensemble des nombres complexes, noté Ensemble des nombres complexes, englobe celui des réels ( ensemble des nombres réels inclus dans Ensemble des nombres complexes ), on y trouve donc les nombres réels (0, 1, 2, -3, 1/3, racine carrée de 2, π, etc) mais il comporte aussi un nombre particulier noté "i" qui comme possède la caractéristique d'avoir un carré égal à 1:

i2 = -1


Un nombre complexe quelconque "z" s'exprime comme la somme d'un réel (a) et d'un multiple de "i" (ib avec "b" réel):

z = a +ib


"a" est appelé partie réelle de "z", il est noté Re(z)
"b" est appelé partie imaginaire de "z", il est noté Im(z)

Si la partie réelle est nulle (Re(z)=0) alors ce nombre complexe est un imaginaire pur
Si la partie imaginaire est nulle (Im(z)=0 alors ce nombre complexe est un réel pur

Egalité entre deux nombres complexes

Il existe un seul et unique nombre complexe possèdant une partie réelle donnée et une partie imaginaire donnée, ce qui implique que si deux nombres complexes (z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 +ib2)  sont égaux alors:

- Leur parties réelles sont égales, Re(z1) = Re(z2) soit a1 = a2
- Leur parties imaginaires sont égales, Im(z1) = Im(z2) soit b1 = b2

Une équation impliquant des nombres complexes conduit toujours à deux équations, l'une impliquant les parties réelles et l'autre les parties imaginaires.

Opération sur les nombres complexes

Il est possible d'utiliser les même opérations que dans l'ensemble des réels à savoir l'addition, la soustration, la multiplication et la division.

Dans les différents cas on fait appel aux nombres complexes z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 +ib2

Multiplication par un réel k

k.z1 = k.(a1 + ib1)    
        = k.a1 + k.ib1    

Donc Re(k.z1) = k.Re(z1) et Im(k.z1) = k.Im(z1)

Division par un réel k

z1(a1 + ib1)    
k            k
        =  a1 +  ib1    
             k        k  
Donc Re( z1 ) = Re(z1) et Im(z1) = Im(z1)
                k           k                k         k            

Addition de deux nombres complexes
 
z1 + z2  = a1 + ib1 + a2 +ib2                  
             =  a1 + a2 + i(b1 + b2)
Donc Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)     

Multiplication de deux nombres complexes

z1 . z2  = (a1 + ib1).(a2 +ib2)
           = a1.a2 + a1.ib2 +  ib1.a2 +  ib1.ib2      
           = a1.a2 + a1.ib2 +  ib1.a2 -  b1.b2
           = a1.a2 -  b1.b2 + i(a1.b2 +  b1.a2)
Donc Re(z1 . z2) = Re(z1).Re(z2) -  Im(z1). Im(z2) et Im(z1 . z2) = Re(z1).Im(z2) + Re(z2). Im(z1)

Identités remarquables

Les nombres complexes obéissent aux même identités remarquables que les nombre rappel

Avec deux nombres réels "a" et "b":  (a + b)2 = a2 + 2ab +b2  
                                                   
Avec les deux parties d'un nombre imaginaire z = a + ib:

 (a + ib)2 = a2 + 2aib +(ib)2  
               = a2 + i2ab - b2  
               = a2- b2 + i2ab   

(a + ib)2 = a2- b2 + i2ab   


Avec deux nombres réels "a" et "b":  (a - b)2 = a2 - 2ab +b2  
                                                   
Avec les deux parties d'un nombre imaginaire z = a - ib:

 (a - ib)2 = a2 - 2aib +(ib)2  
               = a2 - i2ab - b2  
               = a2- b2 - i2ab   

 (a - ib)2 = a2- b2 - i2ab   


Avec deux nombres réels "a" et "b":  (a + b).(a - b) = a2 - b2  
                                                   
Avec deux nombres complexes z1 = a + ib et z2 = a - ib

 (a + ib).(a - ib) = a2 - (ib)2
                         = a2 + b2    

Solutions d'une équation de second degré

Une équation équation du second degré de forme ax2 + bx + c = 0 dont le discriminant est Δ= b2 - 4ac possède deux solutions réelles si Δ > 0, une solution réelle si Δ = 0 et aucune solution réelle si le discriminant est négatif, par contre dans ce dernier cas elle possède deux solutions complexes:

Si Δ < 0 alors l'équation admet comme solutions:

z1 = - b - iRacine carré moins delta   et  z2 = -b + iRacine carré moins delta
              2a                     2a        
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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