Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

Géométrie - Cours Terminale S

Notation exponentielle


Définition

La notation exponentielle eiθ est équivalente au nombre complexe cos (θ) + i.sin(θ):

eiθ= cos (θ) + i.sin(θ)    


Son module est:
|eiθ| = cos2(θ) + sin2(θ)  
          = 1

Exemples:

ei0 =  cos(0) + i.sin(0)
      =    1       +      0
      = 1

eiπ/2 =  cos(π/2) + i.sin(π/2)
         =        0       + i.1
         =  i

eiπ =  cos(π) + i.sin(π)   
      =    -1      +       0
      =    -1
 
Exprimer un nombre complexe avec la notation exponentielle

Sous forme trigonométrique un nombre complexe se note:

z = r.(cos(θ) + i.sin(θ) )

Elle comporte le terme cos(θ) + i.sin(θ) qui correspond à eiθ , l'expression du nombre complexe devient donc:

z = r.eiθ  ou z = |z|.ei.arg(z)


Notation exponentielle et relations trigonmétriques

La notation exponentielle peut être utilisée pour démontrer la plupart des relations trigonométriques

Par exemple on considère  θ1 et θ2 deux angles exprimés en radian:

eiθ1 . eiθ2 = eiθ1+iθ2   
eiθ1 . eiθ2 = ei(θ1+θ2)  

(cos (θ1) + i.sin(θ1)).(cos (θ2) + i.sin(θ2)) = cos (θ1θ2) + i.sin(θ1 + θ2)
(cos (θ1).cos (θ2) + cos (θ1).i.sin(θ2) + i.sin(θ1).cos (θ2) + i.sin(θ1).i.sin(θ2) = cos (θ1θ2) + i.sin(θ1 + θ2)
(cos (θ1).cos (θ2) - sin(θ1).sin(θ2) + i(cos (θ1).sin(θ2) + sin(θ1).cos (θ2)) = cos (θ1θ2) + i.sin(θ1 + θ2)

L'égalité entre les parties réelles et les parties imaginaires permet d'obtenir deux équations:

*  cos (θ1).cos (θ2) - sin(θ1).sin(θ2) = cos (θ1θ2)
*  cos (θ1).sin(θ2) + sin(θ1).cos (θ2) = sin(θ1 + θ2)

On redémontre ainsi les relations

cos (θ1θ2) = cos (θ1).cos (θ2) - sin(θ1).sin(θ2)

sin(θ1 + θ2) = cos (θ1).sin(θ2) + sin(θ1).cos (θ2)


Si dans les formules précédente on remplace θ2 par -θ2  on obtient
cos (θ1 + (-θ2)) = cos (θ1).cos (-θ2) - sin(θ1).sin(-θ2)
cos (θ1 -θ2) = cos (θ1).cos (θ2) + sin(θ1).sin(θ2)

et

sin(θ1 + (-θ2)) = cos (θ1).sin(2) + sin(θ1).cos (2)
sin(θ1 - θ2) = -cos (θ1).sin(θ2) + sin(θ1).cos (θ2)
sin(θ1 - θ2) = sin(θ1).cos (θ2) - cos (θ1).sin(θ2)

Donc:

cos (θ1 -θ2) = cos (θ1).cos (θ2) + sin(θ1).sin(θ2)

sin(θ1 - θ2) = sin(θ1).cos (θ2) - cos (θ1).sin(θ2)
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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