Géométrie - Cours Terminale S

Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer.
Des liens pour découvrir

Géométrie - Cours Terminale S

Géométrie - Cours Terminale S

Bases et repères de l'espace


Décomposition d'un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires

Si l'on considère trois vecteurs vecteur i, vecteur j et vecteur unitaire k non coplanaires alors il est possible d'exprimer tout vecteur vecteur u de l'espace comme une combinaison de ces trois vecteurs, il existe donc 3 réels uniques "x", "y" et "z" tels que:

vecteur u = x.vecteur i + y.vecteur j + z.vecteur unitaire k


On dit que vecteur u est décomposé en fonction de vecteur i, vecteur j et vecteur unitaire k

Base de l'espace

Si vecteur i, vecteur j et vecteur unitaire k sont trois vecteurs non coplanaires alors ils constituent une base de l'espace
 
Ces vecteurs peuvent être utilisés pour décomposer tout vecteur vecteur u grâce à un triplet unique de réels "x", "y" et "z" tels que: vecteur u = x.vecteur i + y.vecteur j + z.vecteur unitaire k

"x", "y" et "z" constituent alors les coordonnées du vecteur vecteur u dans la base (vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k) et l'on peut ainsi noter vecteur u(x ; y ; z)  

Opération sur les vecteurs dans une base de l'espace

Les opérations sur les vecteurs valables en géométrie plane peuvent en générale être étendues à la géométrie dans l'espaces.

Dans  un espace muni de la base (vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k) on considère les  vecteur u(x ; y ; z) et vecteur v (x' ; y' ; z')

Addition de deux vecteurs

L'addition des vecteurs vecteur u et vecteur v correspond à un vecteur vecteur w donc les coordonnées sont la somme des coordonnées de vecteur u et vecteur v:

 si vecteur w = vecteur u + vecteur v alors vecteur w (x+x' ; y+y' ; z+z')


Multiplication par un réel

Soit k un réel quelconque, sont produit par un vecteur vecteur u donne un vecteur vecteur w donc les coordonnées sont le produit des coordonnées de vecteur u par k:

si vecteur w = k.vecteur u alors vecteur w (k.x ; k.y ; k.z)


Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs vecteur u et vecteur v sont colinéaire s'il existe un réel "k" tel que  vecteur u = k. vecteur v ce qui implique que:

 x = k.x', y = k.y' et z = k.z'


Repère de l'espace

Si à une base (vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k)  de l'espace on associe un point O alors on obtient un repère (O ; vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k)

A tout point M de l'espace on peut donc associer un vecteur vecteur om qui peut être décomposé:

vecteur om = x.vecteur i + y.vecteur j + z.vecteur unitaire k

(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur vecteur om mais aussi à celles du point M (x ; y ; z):

- La première coordonnée (x) correspond à l'abscisse
- La deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée
- La troisième coordonnée (z) correspond à la côte

Calculs de coordonnées

Coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées d'un vecteur peuvent être obtenues par différences entre les coordonnées de ses extrémités, par exemple si les points A et B ont pour coordonnées A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors le vecteurs vecteur AB a pour coordonnées:

 vecteur AB (xB - xA ; yB - yA ; zB - zA)


Milieu d'un segment

si les points A et B ont pour coordonnées A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors le point M, milieur du segment AB a pour coordonnées:

M ( xB - xA ; yB - yA ; zB - zA )
    2            2          2


Représentation paramétrique d'une droite

Si une droite est caractérisée par un vecteur directeur vecteur u(a ; b ; c) et l'un de ses point A(xA;yA;zA) alors tout point M(x;y;z) est tel que vecteur am est colinéaire au vecteur directeur vecteur u c'est à dire:



 = k.vecteur u avec k un réel

soit:

x - xA = k.a                          x = k.a + xA             
y - yA = k.b          ou            y = k.b + yA   
z - zA = k.c                           z = k.c + zA      
       
Ce système d'équation correspond à une représentation paramétrique d'une droite et chaque valeur réelle de k correspond au coordonnées d'un des points de cette courbe.


Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de cookies pour réaliser des statistiques de visites

Pour en savoir plus et paramétrer les traceurs