Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Bases et repères de l'espace


Décomposition d'un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires

Si l'on considère trois vecteurs vecteur i, vecteur j et vecteur unitaire k non coplanaires alors il est possible d'exprimer tout vecteur vecteur u de l'espace comme une combinaison de ces trois vecteurs, il existe donc 3 réels uniques "x", "y" et "z" tels que:

vecteur u = x.vecteur i + y.vecteur j + z.vecteur unitaire k


On dit que vecteur u est décomposé en fonction de vecteur i, vecteur j et vecteur unitaire k

Base de l'espace

Si vecteur i, vecteur j et vecteur unitaire k sont trois vecteurs non coplanaires alors ils constituent une base de l'espace
 
Ces vecteurs peuvent être utilisés pour décomposer tout vecteur vecteur u grâce à un triplet unique de réels "x", "y" et "z" tels que: vecteur u = x.vecteur i + y.vecteur j + z.vecteur unitaire k

"x", "y" et "z" constituent alors les coordonnées du vecteur vecteur u dans la base (vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k) et l'on peut ainsi noter vecteur u(x ; y ; z)  

Opération sur les vecteurs dans une base de l'espace

Les opérations sur les vecteurs valables en géométrie plane peuvent en générale être étendues à la géométrie dans l'espaces.

Dans  un espace muni de la base (vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k) on considère les  vecteur u(x ; y ; z) et vecteur v (x' ; y' ; z')

Addition de deux vecteurs

L'addition des vecteurs vecteur u et vecteur v correspond à un vecteur vecteur w donc les coordonnées sont la somme des coordonnées de vecteur u et vecteur v:

 si vecteur w = vecteur u + vecteur v alors vecteur w (x+x' ; y+y' ; z+z')


Multiplication par un réel

Soit k un réel quelconque, sont produit par un vecteur vecteur u donne un vecteur vecteur w donc les coordonnées sont le produit des coordonnées de vecteur u par k:

si vecteur w = k.vecteur u alors vecteur w (k.x ; k.y ; k.z)


Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs vecteur u et vecteur v sont colinéaire s'il existe un réel "k" tel que  vecteur u = k. vecteur v ce qui implique que:

 x = k.x', y = k.y' et z = k.z'


Repère de l'espace

Si à une base (vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k)  de l'espace on associe un point O alors on obtient un repère (O ; vecteur i, vecteur jvecteur unitaire k)

A tout point M de l'espace on peut donc associer un vecteur vecteur om qui peut être décomposé:

vecteur om = x.vecteur i + y.vecteur j + z.vecteur unitaire k

(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur vecteur om mais aussi à celles du point M (x ; y ; z):

- La première coordonnée (x) correspond à l'abscisse
- La deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée
- La troisième coordonnée (z) correspond à la côte

Calculs de coordonnées

Coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées d'un vecteur peuvent être obtenues par différences entre les coordonnées de ses extrémités, par exemple si les points A et B ont pour coordonnées A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors le vecteurs vecteur AB a pour coordonnées:

 vecteur AB (xB - xA ; yB - yA ; zB - zA)


Milieu d'un segment

si les points A et B ont pour coordonnées A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors le point M, milieur du segment AB a pour coordonnées:

M ( xB - xA ; yB - yA ; zB - zA )
    2            2          2


Représentation paramétrique d'une droite

Si une droite est caractérisée par un vecteur directeur vecteur u(a ; b ; c) et l'un de ses point A(xA;yA;zA) alors tout point M(x;y;z) est tel que vecteur am est colinéaire au vecteur directeur vecteur u c'est à dire:



 = k.vecteur u avec k un réel

soit:

x - xA = k.a                          x = k.a + xA             
y - yA = k.b          ou            y = k.b + yA   
z - zA = k.c                           z = k.c + zA      
       
Ce système d'équation correspond à une représentation paramétrique d'une droite et chaque valeur réelle de k correspond au coordonnées d'un des points de cette courbe.


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