Géométrie - Cours Terminale S

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Vecteurs coplanaires


Définition

Des vecteurs (au moins au nombre de 3) sont dits coplanaires si leurs représentants appartiennent au même plan.

Par exemple, trois vecteurs vecteur u, vecteur v et vecteur w sont dit coplanaires si les vecteurs vecteur oa, vecteur-ob et vecteur-oc tels que vecteur oa = vecteur uvecteur-ob = vecteur v et vecteur-oc = vecteur w appartienent au même plan ce qui implique le point correspondant à leur origine (O) ainsi que les points correspondant à leurs extêmités ( A, B et C) font partie d'un même plan.

Conditions de coplanarité

Trois vecteurs vecteur u, vecteur v et vecteur w sont coplanaires si et seulement si il on peut exprimer l'un vecteur comme une combinaison des autre, c'est à dire s'il existe deux réels "a" et "b" tels :

vecteur w = a.vecteur u + b.vecteur v


Cette égalité peut également s'écrire

a.vecteur u + b.vecteur v - vecteur w = 0

Si l'on multiplie chaque membre par un réel "c" quelconque on obtient:

c.a.vecteur u + c.b.vecteur v - c.vecteur w = 0

En posant a' = c.a ; b' = c.b et c' = -c cette relation devient:

a'.vecteur u +b'.vecteur v + c'.vecteur w = 0

On peut donc également formuler la condition coplanarité de la manière suivante:

Trois vecteurs vecteur u, vecteur v et vecteur w sont coplanaires si et seulement s'il existe trois réels " a' " et " b' " et " c' " tels :

a'.vecteur u +b'.vecteur v + c'.vecteur w = 0


Remarque: si deux des trois vecteurs sont colinéaires alors les trois vecteurs sont nécessairement coplanaires.

Caractérisation d'un plan à partir de la condition de coplanarité

Soit P un plan auquel appartient un point "O", deux vecteurs vecteur u et vecteur v non colinéaires et deux vecteurs vecteur oa et vecteur-ob  tels que vecteur oa = vecteur uvecteur-ob = vecteur v.  L'ensemble des points"M" appartenant au plan P sont tels que les vecteurs  vecteur oa, vecteur-ob et vecteur om soient colinéaires.

Par conséquent le plan P est l'ensemble des points M définis par la relation:

vecteur om = a.vecteur oa + b.vecteur-ob où "a" et "b" sont des réels


D'une manière général un plan peut être caractérisé par un point et deux vecteurs colinéaires.

Conséquences:

- Si deux plans P et P' sont caractérisés par le même point et les mêmes vecteurs alors ces deux plans sont confondus.

- Si deux plans P et P' sont caractérisés les même vecteurs mais par des points différents alors les plans P et P' sont parallèles.

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