Géométrie - Cours Terminale S

Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer.
Des liens pour découvrir

Géométrie - Cours Terminale S

Géométrie - Cours Terminale S

Vecteurs coplanaires


Définition

Des vecteurs (au moins au nombre de 3) sont dits coplanaires si leurs représentants appartiennent au même plan.

Par exemple, trois vecteurs vecteur u, vecteur v et vecteur w sont dit coplanaires si les vecteurs vecteur oa, vecteur-ob et vecteur-oc tels que vecteur oa = vecteur uvecteur-ob = vecteur v et vecteur-oc = vecteur w appartienent au même plan ce qui implique le point correspondant à leur origine (O) ainsi que les points correspondant à leurs extêmités ( A, B et C) font partie d'un même plan.

Conditions de coplanarité

Trois vecteurs vecteur u, vecteur v et vecteur w sont coplanaires si et seulement si il on peut exprimer l'un vecteur comme une combinaison des autre, c'est à dire s'il existe deux réels "a" et "b" tels :

vecteur w = a.vecteur u + b.vecteur v


Cette égalité peut également s'écrire

a.vecteur u + b.vecteur v - vecteur w = 0

Si l'on multiplie chaque membre par un réel "c" quelconque on obtient:

c.a.vecteur u + c.b.vecteur v - c.vecteur w = 0

En posant a' = c.a ; b' = c.b et c' = -c cette relation devient:

a'.vecteur u +b'.vecteur v + c'.vecteur w = 0

On peut donc également formuler la condition coplanarité de la manière suivante:

Trois vecteurs vecteur u, vecteur v et vecteur w sont coplanaires si et seulement s'il existe trois réels " a' " et " b' " et " c' " tels :

a'.vecteur u +b'.vecteur v + c'.vecteur w = 0


Remarque: si deux des trois vecteurs sont colinéaires alors les trois vecteurs sont nécessairement coplanaires.

Caractérisation d'un plan à partir de la condition de coplanarité

Soit P un plan auquel appartient un point "O", deux vecteurs vecteur u et vecteur v non colinéaires et deux vecteurs vecteur oa et vecteur-ob  tels que vecteur oa = vecteur uvecteur-ob = vecteur v.  L'ensemble des points"M" appartenant au plan P sont tels que les vecteurs  vecteur oa, vecteur-ob et vecteur om soient colinéaires.

Par conséquent le plan P est l'ensemble des points M définis par la relation:

vecteur om = a.vecteur oa + b.vecteur-ob où "a" et "b" sont des réels


D'une manière général un plan peut être caractérisé par un point et deux vecteurs colinéaires.

Conséquences:

- Si deux plans P et P' sont caractérisés par le même point et les mêmes vecteurs alors ces deux plans sont confondus.

- Si deux plans P et P' sont caractérisés les même vecteurs mais par des points différents alors les plans P et P' sont parallèles.

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de cookies pour réaliser des statistiques de visites

Pour en savoir plus et paramétrer les traceurs