Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Equation cartésienne d'un plan


Orthogonalité d'un vecteur et d'un plan

Un vecteur est orthogonale à un plan s'il est orthogonale à toute les droites de ce plan et donc à tous les vecteurs appartenant à ce dernier. On dit alors que ce vecteur est "normal" au plan.

Si un vecteur vecteur u est orthogonale à un plan P alors pour tout vecteur vecteur v de P vecteur u est perpendiculaire à vecteur v et donc leur produit scalaire est nul: vecteur u.vecteur v =0

Remarques:

Pour démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan il suffit de démonter qu'un de ses vecteur directeur est orthogonale à ce plan.

Si un vecteur est orthogonal à un plan, tout vecteur qui lui est  colinéaire est aussi ortogonal à ce plan.

Forme générale de l'équation cartésienne d'un plan

L'équation cartésienne d'un plan peut être établie à partir d'un de ses points (par exemple A(xA;yA;zA) ) et d'un vecteur normal vecteur normal (a ; b ; c ).

Soit M un point quelconque du plan P de coordonnées M(x;y;z), puisque vecteur normal est orthogonale au plan P alors tout vecteur vecteur am est orthogonale à vecteur normal donc leur produit scalaire est nul:

vecteur am.vecteur normal = 0

Si l'on utilise l'expression analytique du produit scalaire on obtient la relation:

(x-xA).a + (y - yA).b + (z - zA).c = 0

a.x -a.xA + b.y - b.yA + c.z - c.zA = 0

a.x + b.y + c.z - a.xA - b.yA - c.zA = 0

Si on pose d = - a.xA - b.yA - c.zA on obtient une équation de la forme:
                     
a.x + b.y + c.z + d = 0

Il s'agit de la forme générale de l'équation cartésienne d'un plan

Si vecteur normal (a ; b ; c ) est un vecteur normal à un plan P alors ce plan admet une équation cartésienne  de forme:

a.x + b.y + c.z d d = 0 avec "d" un réel.


Remarque: si un plan P admet comme équation cartésienne a.x + b.y + c.z + d = 0 alors k.a.x + k.b.y + k.c.z + k.d = 0 est aussi l'un de ses équation cartésienne.


Trouver un vecteur normal à un plan

Si un plan admet une équation cartésienne a.x + b.y + c.z + d = 0 alors le vecteur  vecteur normal (a ; b ; c ) (ainsi que tous les vecteurs qui lui sont colinéaires) est normal à ce plan.

Plans parallèles

Des plans parallèles admettent les mêmes vecteurs normaux donc:

- si un plan P est parallèle à un plan P'
- si P admet comme équation cartésienne a.x + b.y + c.z + d = 0

Alors:

- Le plan P admet admet comme vecteur normal vecteur normal (a ; b ; c )
- Le plan P' admet aussi comme vecteur normal vecteur normal (a ; b ; c )
- Le plan plan P' possède une équation cartésienne de la forme a.x + b.y + c.z + d' = 0 où d' est un réel.

Si un plan P admet une équation de la forme a.x + b.y + c.z + d = 0 alors tout plan P' parallèle à P admet une équation cartésienne de la forme a.x + b.y + c.z + d' = 0

Conséquence: pour démontrer que deux plans sont parallèles on peut vérifier qu'ils admettent des équations cartésiennes dont les coefficients de l'abscisse, de l'ordonnée et de la côte sont identique.

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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