Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Produit scalaires de deux vecteurs dans l'espace


Définition

Soient vecteur u et vecteur v sont deux vecteurs quelconques de l'espace, A, B et C trois points tels que vecteur AB = vecteur u et vecteur ac = vecteur v. Quels que soient les points A, B et C il existe au moins un plan P contenant les vecteurs vecteur AB et vecteur ac (Si les vecteurs sont colinéaires il y en a une infinité sinon il n'y en qu'un).  Le produit scalaire vecteur u . vecteur v = vecteur AB . vecteur ac dans l'espace se ramène donc au prdduit scalaire dans le plan P.

Calculer un produit scalaire

Puisque qu'on peut toujours ramener un produit scalaire dans l'espcace à un produit scalaire dans un plan, son expression reste la même:

Produit scalaire dans l'espace

 

vecteur u . vecteur v= AB.AC.cos(θ) = ||vecteur u||.||vecteur v||.cos(θ)


Le point " C' " est la projection orthogonale de "C" sur AB c'est à dire le point appartenant à AB tel que MM' soit perpendiculaire à AB

Produit scalaire dans l'espace par projection orthogonale


L'expression du produit scalaire peut s'écrire:

vecteur u . vecteur v= AB.AC'


Car AC'=AC.cos(θ)

D'après ces expressions, le produit scalaire de deux vecteurs n'est nul qu'à l'une de ces conditions:

- Au moins l'un des vecteurs est nul
- L'angle θ est de   π  (2π), les deux vecteurs sont donc orthogonaux.
                               2

Expression analytique

Si les vecteurs vecteur u et vecteur v ont pour coordonnées vecteur u(x ; y ; z) vecteur v(x' ; y'; z') alors leur produit scalaire peut être exprimé à partir ces coordonnées:

vecteur u . vecteur v = x.x' + y.y' + z.z'


Propriétés du produit scalaire dans l'espace

Le propriétés sont les mêmes que dans un plan.

La commutativité du produit scalaire :

 Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v ,  vecteur u . vecteur v= vecteur vvecteur u


Commutativité des facteurs réels :

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v et toute constante réelle k:  k(vecteur u . vecteur v) = (kvecteur u) . vecteur v = vecteur u . (kvecteur v)


Distributivité:

 Pour tous vecteurs  vecteur u, vecteur vet vecteur w :  vecteur w.(vecteur u + vecteur v) =  vecteur w.vecteur u + vecteur w.vecteur v


Identités remarquables:

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v :    (vecteur u + vecteur v)2 = vecteur u2 + 2vecteur u.vecteur vvecteur v2


Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v :    (vecteur u - vecteur v)2 = vecteur u2 -2vecteur u.vecteur vvecteur v2

         

Pour tous vecteurs  vecteur u et vecteur v :  (vecteur u + vecteur v).(vecteur u - vecteur v) = vecteur u2vecteur v2


Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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