Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Fluctuation et estimation


Fluctuation et prise de décision

Si Xn est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres "n" et "p" alors on peut définir à partir de cette dernière une autre variable notée Fn telle que Fn = Xn, cette dernière correspond à la fréquence de succès.
                                                                                            n
Pour tout réel α appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[ il existe un réel uα  tel que:

limite de n en plus de l'infini P(Fn appartient à In) = 1 - α  avec In l'intervalle [ p - uα.   racine carre p(1-p)    ;  p + uα.   racine carre p(1-p)    ]    
                                                                                    racine carré n                              racine carré n

L'intervalle In correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil de 1 - α      

En particulier, lorsque α = 0,05 alors uα = 1,96 et 1 - uα= 0,95:  In correspond à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Attention cet intervalle n'est valide que si n supérieure ou égale 30, n.p supérieure ou égale 5 et n.(1-p) supérieure ou égale 5

On peut utiliser ce seuil pour une prise de décision, par exemple si l'on étudie un caractère sur échantillon de population composé de "n" éléments, la proportion de ce caractère étant "p" pour la population totale alors on peut valider l'hypothèse que la proportion est aussi de "p" sur l'échantillon à condition que la fréquence de ce caractère sur l'échantillon appartienne à l'intervalle In correspondand à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, sinon l'hypothèse est rejetée.

Estimation

Soit une variable aléatoire Xn suivant une loi binomiale de paramètres "n" et "p", alors pour tout réel p tel que 0 < p < 1 , il existe un entier "n" au-delà duquel P ( p - 1  inférieur ou égal  Fn inférieur ou égal p +  1   ) > 0,95  
                                                                              racine carré n                  racine carré n

Fn est une variable aléatoire qui associe à tout échantillon de taille "n" d'une population, la proportion "p" d'un caractère étudié.

Si "n" est assez grand alors la probabilité que l'intervalle [ Fn - 1  ; Fn +  1   ]  contienne la proportion "p" est 
                                                                                                     racine carré n         racine carré n
supérieure à 0,95.


[ Fn - 1  ; Fn +  1   ] est un intervalle de confiance de niveau de confiance de 95%  pour la fréquence "f" d'un  
        racine carré n         racine carré n
caractère sur un échantillon de taille "n" extrait d'une population où la proportion de ce caractère est "p"

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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